Considere la ecuación de $2^a-2^b=3^c-3^d$ donde $a>b>0$, $c>d>0$, y $a,b,c,d$ son todos los números enteros. Un equipo de búsqueda de soluciones con $a,c\le20$ sólo encuentra 8-2=9-3, 32-8=27-3, y 256-16=243-3. Realmente me gustaría no ser sólo un número finito de soluciones (incluso si estos 3 no son los únicos).
He notado que las potencias inferiores en ambos lados puede ser un factor, pero desde entonces todos los exponentes son arbitrarias, no creo que se puede usar un diseño modular de los residuos para obtener el resultado.
Esto se siente vagamente reminiscente de Mihăilescu del teorema, pero esperamos que sea mucho más fácil de probar. Puede que alguien me apunte hacia una referencia pertinente o me dan un empujón hacia un método para resolverlo?
Editar:
He leído a través de Gottfried Helms la explicación, y llegado a algunas conclusiones, pero me temo que estoy un poco fuera de mi profundidad, como tengo poca experiencia con la de Euler totient teorema (y los relacionados con el teorema de Carmichael), y sin experiencia previa con Zsigmondy del teorema. Yo he trabajado un poco, y voy a presentar mi pensamiento/conocimiento actual aquí, en la esperanza de que la gente puede aclarar las cosas para mí y me trae más cerca de una solución.
En primer lugar, me di cuenta de que no había ninguna buena razón para no permitir la $b=0$ o $d=0$ en el problema, así que me empezaron a permitir que ellos. Idealmente, me gustaría producir una lista completa de el un número finito de tuplas (un equipo) sugiere cinco) de números enteros no negativos $\left(a,b,c,d\right)$ $a>b\ge0,c>d\ge0$ donde la ecuación anterior tiene (tenga en cuenta que si hemos permitido que la $a=b$ o $c=d$, entonces tendríamos $a=b\Leftrightarrow c=d$ y que sería una familia infinita de soluciones triviales parametrizadas por $b$$d$). A lo largo de este debate, voy a seguir Gottfried Helms en reescribir la ecuación como $$\frac{2^A-1}{3^d}=\frac{3^C-1}{2^b}\tag{1}$$where $a=a-b,C=c-d>0$, y los dos lados deben ser números enteros.
Observaciones Rápidas:
- $2^{b}$ es el más alto poder de $2$ que divide $3^{C}-1$, ya que de lo contrario el lado izquierdo de (1) es impar y el lado derecho es aún.
- Por lo tanto, $b=0$ es imposible.
- Tenga en cuenta que $3^2\equiv1\mod8$, e $3-1\equiv2\mod8$ no puede ser divisible por $4$. Por lo tanto, $3^{C}-1$ es divisible por $8$ o $2$ e no $4$. Por lo tanto, 1., $b=2$ es imposible.
- Si $A=1$ $d=1$ o de lo contrario el lado izquierdo de (1) no ser un número entero.
- Si $C=1$, $b\le1$ para hacer el lado derecho de (1) un número entero, por lo $C=1\Rightarrow b=1$ 2.
Zsigmondy del Teorema de
Zsigmondy del Teorema es una profunda teorema I no ha oído hablar de antes de Gottfried del post, y que resuelve muchos de los problemas más simples de una personalidad similar a esta. Una buena colección de aplicaciones de ejemplo se puede encontrar en este número de la HKUST Matemática Excalibur. Dos importantes corolarios para nosotros son:
- Cada entrada de la secuencia de $2^{n}-1$ tiene un nuevo divisor primo de los anteriores entradas no, excepto para $n=6$. Por ejemplo: $2^{2}-1$ tiene el nuevo primer factor de $3$, $2^{1}-1$ no tienen. $2^{3}-1$ tiene el nuevo primer factor de $7$ que los dos anteriores no tienen. $2^{4}-1$ tiene el nuevo primer factor de $5$, e $2^{5}-1$ tiene el nuevo primer factor de $31$, pero $2^{6}-1=3^{2}*7$.
- Cada entrada de la secuencia de $3^{n}-1$ tiene un nuevo divisor primo excepto para $n=2$. $3^{2}-1$=$\left(3^{1}-1\right)^{3}$, pero $3^{3}-1$ ha $13$, $3^{4}-1$ ha $5$, etc.
Más Casos Especiales:
Con Zsigmondy del teorema en la mano, fácilmente podemos tratar algunos casos especiales.
Caso:$b=1$$d=0$:
En este caso, la ecuación del problema nos da $2^{a}-2=3^{c}-1$, por lo que el $2^{a}-1=3^{c}$, pero $2^{a}-1$ es la obtención de nuevos factores primos distintos de 3 por Zsigmondy menos $a=0,1,2$. Desde $a>b=1$ sólo $a=2$ es permitido. Esto produce que la solución "4-2=3-1 ".
Caso: $C=1$:
Por una rápida observación 5., $b=1$, por lo que tenemos $2^{A}-1=3^{d}$, lo que obliga $A\le2$ por Zsigmondy. $A=1$ obligaría a $d=0$ y nos da la solución del caso anterior. Si $A=2$, $d=1$ y obtenemos "8-2=9-3". (Nota, Mihăilescu del teorema podría haber sido utilizado como la extrema exageración para este puesto $2^{A}-1=3^{d}$ es equivalente a $2^{A}-3^{d}=1$.)
Mejores argumentos?
Gottfried parecía ser la crianza de Carmichael del fortalecimiento de Euler totient teorema, pero no entiendo cómo se utiliza. La respuesta hizo parecer como si estuvieran diciendo algo como $a^m\equiv 1\mod n$ $a=3$ $n$ coprime a $3$ exactamente al $\lambda(n)\mid m$, lo cual es falso. $3^3\equiv1\mod13$, por ejemplo. Carmichael del teorema puede ser muy útil aquí, pero no entiendo cómo se aplican.
Yo también no entender exactamente cómo utilizar Zsigmondy del teorema repetidamente. Puedo comprobar Jack Daurizio comentario manualmente con la aritmética modular, pero parecía que estaban utilizando estos teoremas para hacer rápidamente las afirmaciones acerca de la divisibilidad en una forma que yo no podía seguir.
Cualquier elaboración y explicación sobre los métodos de Gottfried la respuesta o algún otro paso hacia una solución sería muy apreciada.
Corolario Interesante
Como un aparte, me olvidé de mencionar la inspiración inicial para esta pregunta. Yo estaba pensando acerca de los pares de funciones $f,g:\mathbb N\to\mathbb N$ tal que $(n,m)\mapsto f(n)+g(m)$ es inyectiva. Una clase de pares sé que se basa en el intercalado de dígitos, pero si la conjetura acerca de potencias de 2 y 3 es cierto, entonces, $f(n)=2^{n+k}$ $g(m)=3^{m+k}$ trabajaría para algunos $k$.
