Una desigualdad integral con inversa

Question

Sea $f:[0,1]\to [0,1]$ sea una función cóncava no decreciente, tal que $f(0)=0,f(1)=1$ . Demostrar o refutar que : $$ \int_{0}^{1}(f(x)f^{-1}(x))^2\,\mathrm{d}x\ge \frac{1}{12}$$ Un amigo me planteó lo siguiente. Espera haberlo resuelto, pero no está seguro. ¿Alguien puede ayudarme? Gracias.

Answer 1

Sea $f(x)=x^{\frac{1}{k}}$ para algunos $k\geq 1$ . Entonces $f^{-1}(x)=x^k$ por lo que tenemos

$$\int_{0}^{1}(x^{\frac{1}{k}}x^k)^2\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1}(x^{k+\frac{1}{k}})^2\,\mathrm{d}x = \frac{x^{2k+\frac{2}{k}+1}}{2k+\frac{2}{k}+1}\Big|_0^1 = \frac{1}{2k+\frac{2}{k}+1}$$

que puede hacerse arbitrariamente pequeño.

Answer 2

La desigualdad no puede cumplirse ya que una función cóncava no decreciente $f$ satisfaciendo $f(0)=0$ et $f(1)=1$ puede ser casi siempre arbitrariamente cercana a uno, con su función inversa siendo casi siempre arbitrariamente cercana a cero en $[0,1]$ . Por lo tanto, la integral dada puede ser menor que $\varepsilon$ para cualquier $\varepsilon>0$ .

Ejemplos de este fenómeno son $$ f(x) = \frac{(n+1)x}{n+x}\quad\mbox{for }n\geq 7, $$ $$ f(x) = x^r\quad\mbox{for }r\in(0,1/6),$$ $$ f(x) = x+\min\left(nx,\frac{n}{n+1}(1-x)\right)\quad\mbox{for }n\geq 4.$$

Answer 3

No estoy seguro de que esto funcione. Toma $f(x)=nx$ para $x \in [0;\frac{1}{n+1}]$ et $f(x)=\frac{n}{n+1} + (x-\frac{1}{n+1})\frac{1-\frac{n}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}} = \frac{n}{n+1} + \frac{1}{n}(x-\frac{1}{n+1})$ en $]\frac{1}{n+1},1]$ .

Entonces $f^{-1}(y)= \frac{y}{n}$ si $y \in [0,\frac{n}{n+1}]$ et $f^{-1}(y)= n(y-\frac{n}{n+1})+\frac{1}{n+1}$ si $y \in [\frac{n}{n+1},1]$

Entonces, notando que $\forall x$ $f(x)\leq 1$ et $f^{-1}(x)\leq 1$ podemos reescribir: $\int_0^1 (f f^{-1} )^2\leq \int_0^1 f^{-1}(x )^2dx \leq \int_0^{\frac{n}{n+1}}\frac{x^2}{n^2}dx + \int_{\frac{n}{n+1}}^1 1dx \leq \frac{1}{n ^2} + \frac{1}{n+1}$ que converge hacia 0.