Acerca De Gauss-Bonnet Teorema De

Question

El de Gauss–Bonnet teorema de decir que: Si $\Sigma \subset M =\mathbb{R}^3$ es un compacto de 2 dimensiones de Riemann colector sin límite, entonces $$ \int_{\Sigma} K = 2\pi\chi_{\Sigma}$$

donde $K$ es la curvatura de Gauss de $\Sigma$ $\chi_{\Sigma}$ es la característica de Euler de $\Sigma$.

En la Proposición 7 de http://arxiv.org/abs/0909.1665, $M^3$ es compacto (lo $M\ne \mathbb{R}^3$), pero el uso de Gauss-Bonnet. Por qué?

Por otra parte, en este caso, $K$ es la curvatura de la sección transversal, o el producto de las curvaturas principales de la superficie?

Puede alguien sugerir una referencia? Gracias!

Answer 1

Buena pregunta.

La respuesta es que Gauss-Bonnet, en realidad, no requieren de la hipótesis de que la $\Sigma$ es incorporado (o incluso sumergido) en $\mathbb{R}^3$. Más bien, es una característica intrínseca de la declaración sobre abstracto de Riemann 2-variedades. Véase Robert Greene notas aquí, o en la página de la Wikipedia sobre Gauss-Bonnet, o tal vez John Lee de Riemann Colectores de libro.

Muchos de los textos de primaria geometría diferencial incluyen la hipótesis de que la $\Sigma \subset \mathbb{R}^3$ porque ese es el contexto en que está trabajando. Es decir, que algunos libros no definir resumen colectores.

En este caso, me gustaría interpretar $K$ como la curvatura seccional. Para ser honesto, nunca he visto a una definición de "capital de la curvatura de" fuera de la configuración de $\mathbb{R}^N$, a pesar de mi ignorancia no debe ser tomado como prueba definitiva de que el concepto no existe en más de la configuración general.

A un lado, Más interesante para mí, por cierto, es el hecho de que $\Sigma$ es no orientable (es homeomórficos a $\mathbb{RP}^2$). No creo que he visto una prueba de Gauss-Bonnet para la no-orientable, pero que al parecer no una difícil modificación.

Answer 2

Creo que una prueba de Gauss-Bonnet para los no-orientable configuración es muy simple. Aquí seguimos a John Lee a la idea en su libro (página 169).

Deje $M$ ser un compacto de dos dimensiones no-orientable colector. A continuación, una doble cubierta de $M$ debe compacto, orientable en dos dimensiones múltiples. La doble cubierta de la $\tilde{M}$ 'levante' de la pieza correspondiente a la $\mathbb{RP}^{2}$ o $K$ en la clasificación teorema. Ahora para $\tilde{M}$ podemos dotar el push-back métrica definida por $$ \tilde{g}=\pi^{*}g $$ tal que el mapa de proyección es una isometría. Entonces es obvio que $\pi^{*}\tilde{K}=K$ ya que la curvatura seccional sólo está definida localmente. Ahora tenemos $$ \chi(\tilde{M})=\frac{1}{2\pi}\int_{\tilde{M}} \tilde{K}d\tilde{\sigma} $$ Pero sabemos que ese $\chi(\tilde{M})=2\chi(M)$, y de manera similar a $\tilde{K}=K$'s integral aparecería dos veces cuando hacemos la integral en $M$ utilizando un compacto-compatible densidad. Para dividir por 2 en ambos lados obtenemos la fórmula deseada para $M$: $$ \chi(M)=\frac{1}{2\pi}\int_{M} Kd\sigma $$ y esto terminó la prueba.