Trig sustitución de la integración de $\int1/(x^2\sqrt{x^2 - 9}) dx$ - atascado en un problema

Question

Estoy pegado en este trigonométricas sustitución problema.

$$\int\frac1{x^2\sqrt{x^2 - 9}}~\mathrm dx.$$

$$x = 3 \sec\theta,\qquad\theta = \sec^{-1} \sqrt{\frac{x^2}{9}},\qquad\mathrm dx = \sec\theta\ \tan\theta\ \mathrm d\theta$$

Puedo llegar a aquí, pero no sé cómo terminarlo (tal vez he cometido un error antes de este punto?)

$$\int\frac{3\sec\theta\ \tan\theta}{9\sec^2\theta(3\sec\theta -3)}~\mathrm d\theta.$$

Si alguien pudiera ayudar desde aquí, se lo agradecería.

Gracias.

Answer 1

Te sugiero utilizar la sustitución de $x:=3\cosh t$ lugar. Esto lleva a $$\eqalign{I&=\int{1\over 9\cosh^2 t\ 3\sinh t}\ 3\sinh t\ dt=\int{1\over 9\cosh^2 t}\ dt\cr &={1\over9}\tanh t+C={\sqrt{\cosh^2 t -1}\over9\cosh t}+C={\sqrt{x^2-9}\over 9 x}+C\ .\cr}$$

Answer 2

Note primero que se le cayó una raíz cuadrada en el denominador. También, $dx = 3 \sec \theta \tan \theta d \theta$. De lo contrario, todo parecía bien hasta el momento:

$$ \int \frac{1}{x^2\sqrt{x^2 - 9}}dx = \int \frac{3 \sec \theta \tan \theta}{9 \s^2 \theta \sqrt{9 \s^2 \theta - 9}} d \theta. $$

Ahora, lo que es una manera más sencilla de escribir $\sqrt{9 \sec^2 \theta - 9}$?

Answer 3

Creo que has cometido un error en la sustitución.

Añadido. O más bien, se hizo un álgebra de error. Parece que han pasado de $$\sqrt{9\sec^2\theta - 9}$$ a $$3\sec\theta - 3.$$ Eso es incorrecto. La raíz cuadrada no distribuir más de sumas y diferencias; es decir, la raíz cuadrada de la diferencia no es la diferencia de las raíces cuadradas (por ejemplo, $\sqrt{5} = \sqrt{9-4}$ no es igual a $\sqrt{9}-\sqrt{4} = 3-2=1$).

Si $x=3\sec\theta$,$x^2 - 9 = 9\sec^2\theta - 9 = 9(\sec^2\theta-1) = 9\tan^2\theta$, por lo que el $\sqrt{x^2-9} = \sqrt{9\tan^2\theta} = 3|\tan\theta|$. Para su sustitución para el trabajo, sin embargo, desea restringir $\theta$ a un buen intervalo donde la tangente es positiva, por lo que puede caer el valor absoluto de barras.

Answer 4

Mediante su sustitución $x=3\sec \theta $ y la cancelación de $\sec \theta$ en el numerador y el denominador, tengo

$$I=\int \frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}-9}}\ \textrm{d}x=\int \frac{ \tan \theta }{3\ \sec \theta \ \sqrt{9\s ^{2}\theta -9}}\ \textrm{d}\theta=\int \frac{\tan \theta }{9\ \sec \theta \ \sqrt{\s ^{2}\theta -1}}\ \textrm{d}\theta.$$

Es fácil ver que

$$\frac{\tan \theta }{ \sec \theta \sqrt{\s ^{2}\theta -1}}= \cos \theta .$$

Así

$$I=\int \frac{1}{9}\cos \theta \ \textrm{d}\theta = \dots .$$

Añadido. Solo para confirmar Cristiana Blatter evaluación. $$\begin{eqnarray*} I &=&\int \frac{1}{9}\cos \theta \,d\theta =\frac{1}{9}\sin \theta +C \\ &=&\frac{1}{9}\sqrt{1-\cos ^{2}\theta }+C=\frac{1}{9}\sqrt{1-\frac{1}{\sec ^{2}\theta }} +C\\ &=&\frac{1}{9}\sqrt{1-\frac{9}{x^{2}}}+C=\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{9x}+C. \end{eqnarray*}$$