Conjunto de correlacionadas pero linealmente dependiente de las variables de

Question

Es posible tener un conjunto de $K$ variables que están correlacionadas pero linealmente dependiente?

es decir, $cor(x_i, x_j)=0$ $\sum_{i=1}^K a_ix_i=0$

Si sí se puede escribir un ejemplo ?

EDITAR: A partir de las respuestas se deduce que no es posible.

Tendría que ser al menos posible que $\mathbb{P}(|\hat \rho_{x_i, x_j}-\hat \rho_{x_i, v}|<\epsilon)$ donde $\hat\rho$ se calcula el coeficiente de correlación estimado de $n$ de las muestras de las variables y $v$ es una variable que no tiene correlación con el $x_i$.

Estoy pensando en algo como $x_K=\dfrac{1}{K} \sum_{i=1}^{K-1} x_i$ $K>>0$

Answer 1

Como @RUser4512 la respuesta de la muestra, variables aleatorias correlacionadas no puede ser linealmente dependiente. Pero, casi correlacionadas las variables aleatorias pueden ser linealmente dependientes, y un ejemplo de estos es algo querido por el estadístico del corazón.

Supongamos que $\{X_i\}_{i=1}^K$ es un conjunto de $K$ la no correlación de la unidad y la varianza de las variables aleatorias con el común de decir $\mu$. Definir $Y_i = X_i - \bar{X}$ donde $\bar{X} = \frac 1K \sum_{i=1}^K X_i$. A continuación, el $Y_i$ cero significa que las variables aleatorias tales que $\sum_{i=1}^K Y_i = 0$, es decir, son linealmente dependientes. Ahora, $$Y_i = \frac{K-1}{K} X_i - \frac 1K\sum_{j \neq i}X_j$$ así que $$\operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{K-1}{K}\right)^2+\frac{K-1}{K^2} = \frac{K-1}{K}$$ mientras $$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{K-1}{K}\right)\frac 1K + \frac{K-2}{K^2}= \frac{-1}{K}$$ mostrando que el $Y_i$ son casi correlacionadas las variables aleatorias con el coeficiente de correlación de $\displaystyle -\frac{1}{K-1}$.

Véase también la anterior respuesta de la mina.

Answer 2

No.

Supongamos que uno de los $a_i$ es distinto de cero. Sin pérdida de generalidad, supongamos $a_1=1$.

Para $K=2$, esto implica $x_1=-a_2x_2$$cor(x_1,x_2)=-1$. Sin embargo, esta correlación es cero. $a_1$ debe ser cero, así, que contradice la existencia de una relación lineal.

Para cualquier $K$, $x_1=-\sum_{i>1}a_ix_i$ y $cor(x_1,x_k)=-1$. Pero, por usted, por hipótesis, $cor(x_1,x_k)=0$. El $a_i$'s son cero ( $i>1$ ) y así debe de ser $a_1$.

Answer 3

Esto puede ser haciendo un poco de trampa, pero si definimos el 'no' como tener una covarianza de 0, la respuesta es sí. Deje $X$ $Y$ ser cero con probabilidad 1. Entonces

$\mathop{\mathrm{Cov}}(X,Y)= \mathop{\mathrm{E}}(XY)-\mathop{\mathrm{E}}(X)\mathop{\mathrm{E}}(Y)=0-0=0$

mientras que $X+Y=0$, lo $X$ $Y$ son linealmente dependientes (por su definición).

Aunque si es necesario que la correlación se define, es decir, que las varianzas de ambos $X$ $Y$ son estrictamente positivos, no es posible encontrar las variables de cumplimiento de los criterios (ver las otras respuestas).