Probar el siguiente límite de $ \lim_{n\to \infty} (3^n + 4^n)^{1/n} = 4 $

Question

¿Cómo puedo probar el límite de abajo? Yo he intentado, pero no tengo nada.

$ \lim\limits_{n\to \infty} (3^n + 4^n)^{1/n} = 4. $

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Sugerencia 2: $4^n < 3^n + 4^n < 2\cdot 4^n$

Answer 2

En general, vamos a $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$ ser números positivos. Deje $A=\max\limits_{1\leq i\leq m}{\alpha_i}$

A continuación, $$A^n\leq \alpha_1^n+\cdots+\alpha_m^n\leq mA^n$$

Por lo tanto $$A\leq (\alpha_1^n+\cdots+\alpha_m^n)^{1/n}\leq m^{1/n} A$$

Por lo $$\lim_{n\to\infty} (\alpha_1^n+\cdots+\alpha_m^n)^{1/n}=\max\limits_{1\leq i\leq m}{\alpha_i}$$

desde $m^{1/n}\to 1$.

Answer 3

Cómo acerca de: $$=\lim_{n \to \infty} 4\left(1+\frac{3^n}{4^n}\right)^{1/n} = \lim_{n \to \infty} 4\left(1+0.75^n\right)^{1/n} = 4$$

Answer 4

Sugerencia: como $n \to \infty$, $4^n$ se convierte en mucho más grande de lo $3^n$.

Answer 5

$$(3^n+4^n)^{1/n}= e^\frac{\ln(3^n+4^n)}{n}= e^\frac{\ln(4^n(1+(3/4)^n)}{n}= e^{\ln(4)}e^{\frac{1}{n}\ln(1+(3/4)^n)}\longrightarrow_{n\to \infty} 4 $$