Supongamos que $F$ es un campo.t $\left|F\|derecha=q$. Tomar $p$ a ser algunos de los mejores. Cuántos monic polinomios irreducibles de grado $p$ puede existir más de $F$?
Gracias!
Respuesta
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El número de tales polinomios es exactamente $\displaystyle \frac{q^{p}-q}{p}$ y esta es la prueba:
Los dos hechos principales que utilizamos (y que no voy a demostrar aquí) que $\mathbb{F}_{p^{p}}$ es la división de campo de la polinomio $g\left(x\right)=x^{q^{p}}-x$,
y que cada monic polinomio irreducible de grado $p$ divide a $g$.
Ahora: $\left|\mathbb{F}_{p^{p}}:\mathbb{F}_{q}\right|=p$ y por lo tanto no podía ser de sub-extensiones. Por lo tanto, cada polinomio irreducible que divide a $g$ debe ser de grado $p$ o 1. Ya que cada polinomio lineal de más de $\mathbb{F}_{q}$ divide a $g$ (ya que por cada $a\in \mathbb{F}_{q}$, $g(a)=0$), y del hecho de que $g$ tiene distintas raíces, tenemos exactamente $q$ diferentes lineal de los polinomios que se dividen de $g$.
Multiplicando todos los irreductible monic polinomios que dividir $g$ proporcionará us $g$, y por lo tanto, resumiendo sus grados nos dará $p^{p}$.
Por lo tanto, si se denota el número de monic polinomios irreducibles de grado $p$ $k$ (que es el número que queremos), obtenemos que $kp+q=q^{p}$, yo.e $\displaystyle k=\frac{q^{p}-q}{p}$.
