Mostrar que $t^n-1 \mid t^m-1 \Leftrightarrow n\mid m$

Question

Yo quiero probar el siguiente lema:

$t^n-1$ divide $t^m-1$ $F[t, t^{-1}]$ si y sólo si $n$ divide $m$$\mathbb{Z}$.

He hecho lo siguiente:

$\Leftarrow $ :

$n\mid m \Rightarrow m=kn, k \in \mathbb{Z}$

$t^m-1=t^{kn}-1=(t^n)^k-1=(t^n-1)(t^{n(k-1)}+\dots +1)$

Por eso, $t^n-1\mid t^m-1$.

Es esto correcto?

¿Cómo podemos mostrar la otra dirección?

Answer 1

Si $t^n-1\mid t^m-1$ hay $f(t)\in F[t,t^{-1}]$ tal que $(t^n-1)f(t)=t^m-1$. Por otra parte, no es $p\ge 0$ tal que $t^pf(t)\in F[t]$. Set $g(t)=t^pf(t)$. Luego tenemos la $(t^n-1)g(t)=t^p(t^m-1)$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer $m,n\ge 0$. A continuación,$t^n-1\mid t^p(t^m-1)$$F[t]$, y desde $\gcd(t^n-1,t^p)=1$ tenemos $t^n-1\mid t^m-1$$F[t]$. Ahora escribo $m=nq+r$$0\le r<n$. A continuación,$ t^m-1=t^r(t^{nq}-1)+t^r-1$, lo $t^n-1\mid t^r-1$, lo que implica $r=0$, $n\mid m$.

Answer 2

La prueba es correcta. Para probar la otra dirección supongamos $(t^n-1)P(t) = t^m-1$ (pensar acerca de por qué $P(t) \in F[t,t^{-1}]$ tiene que ser un polinomio en $t$). La manera rápida de ahora iba a ser esta ecuación módulo $t^n$, y deducir que $P(t)\equiv 1$ modulo $t^n$ y, por tanto, $P$ es un polinomio en a $t^n$.

Si usted no se siente cómodo con este tipo de argumento escribir $P(t) = \sum_{k=0}^{m-n} a_k t^k$. Multiplicando a cabo sabemos que $a_{m-n}=1$$a_0=1$. Tenemos $$ (t^n-1)P(t) = \sum_{k=0}^{m}b_kt^k =t^m-1, $$ donde $$b_k= \begin{cases} a_{k-n} &\text{if }k>m-n,\\ a_{k-n}-a_k &\text{if } n\leq k\leq m-n,\\ -a_k &\text{if } k<n \end{casos} $$ De que usted puede deducir $a_0 = 1$ y, luego, por inducción, que $a_k=0$ si $n\nmid k$ $a_k=1$ si $n\mid k$$k\leq m-n$. Dado que el coeficiente de $t^{m-n}$ $1$ debemos tener $n\mid m-n$, lo que implica $n\mid m$.

Answer 3

Vamos a hacer el difícil dirección.

Deje $\zeta\in\mathbb C$ ser una primitiva $n$th raíz de la unidad.

Si $f=t^n-1$ divide $g=t^m-1$, $\zeta$ debe ser una raíz de $g$ porque es una raíz de $f$. A partir de este y la propiedad básica de raíces primitivas vemos a la vez que $n\mid m$.

NB. Supongamos que $F$ es cualquier campo y que $f$ divide $g$$F[t]$. Si $\bar F$ es la clausura algebraica de $F$, $f$ divide $g$$\bar F[t]$, por lo que nos puede suponer que $F$ es algebraicamente cerrado. Si $n=p^an'$$(n',p)=1$$\alpha\geq0$$f_0=t^{n'}-1$, $f_0$ divide $f$, por lo que se divide $g$. Así se puede suponer también que $(n,p)=1$. En ese caso, no es un primitivo $n$th raíz de la unidad $\zeta\in F$ y nosotros hacemos exactamente lo mismo que antes.

Answer 4

Escribir $(t^n-1)P(t,t^{-1}) = t^m-1$, diferenciar y establecer $t=1$.