¿Por qué no hay registro continuo de la función en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$?

Question

A través de los años, he oído a menudo que no existe el logaritmo de la función que es continua en a $\mathbb{C}\setminus\{0\}$.

La explicación habitual es generalmente de algunos handwavey argumento sobre el siguiente de una función de este tipo alrededor del círculo unitario, y llegar a una contradicción en $e^{2\pi i}$ o algo así.

He estado un poco insatisfecho con estos. Lo que es más formal, rigurosa prueba de que no es continua la función de registro en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ que es comprensible para un nonexpert? Gracias.

Answer 1

Si un holomorphic función de $f(z)$ dominio $D\subset \mathbb C$ tiene una primitiva $F(z)$$D$$F'(z)=f(z) $, entonces su integral sobre cualquier diferenciable a trozos bucle $\gamma$ $D$ cero : $\int _\gamma f(z)dz=0$.

Si $\log (z)$ existía en $\mathbb C^*$, sería una primitiva de $1/z$ [ a conseguir $\log'(z)=1/z$ sólo se diferencian $\exp(\log(z))=z$ ]. Por tanto, para el círculo de $\gamma (t)= e^{2i\pi t} \; (0\leq t \leq 1)$ tendríamos $\int _\gamma\frac{1}{z} dz=0$.

Sin embargo, un simple cálculo muestra que $\int _\gamma\frac{1}{z} dz=2i\pi$.

Answer 2

Un logaritmo sería una sección continua de la cubierta del espacio de $exp:\mathbb C\to \mathbb C^*$, por lo tanto, sería un homeomorphism. Pero $\mathbb C$ $\mathbb C^*$ no homeomórficos .

Answer 3

Considerar el logaritmo de $e^{it}$ donde $t$ es un número real.

$\ln(e^{it}) = it + 2\pi i k$ donde $k$ es un número entero. Puesto que para cada una de las $t$ esta elección de $k$ es una elección discreta, si su logaritmo es continua, $k$ tendría que ser constante.

Por lo $\ln(e^{it}) = it + 2 \pi i k$, pero este no es el mismo para $t=0$$t=2\pi$, lo $\ln$ no está bien definida.

Así que no hay una continuidad argumento no he rellenado, con respecto a $k$ tener que ser constante. Pero eso no es demasiado complicado. Supongo que la forma más fácil de mostrar $k$ es constante es mirar la diferencia de $\ln(e^{it}) - it$, diferenciar y observe que el cero.