Estoy atascado en el siguiente problema: demostrar un entero $n$ es de la forma $x^2+2y^2$ si y sólo si cada divisor primo $p$ $n$ que es congruente a $5$ o $7\bmod8$ aparece con un exponente.
Creo que tenemos que hacer algo similar a Fermat suma de dos cuadrados teorema. Hasta ahora sólo he conseguido ver que el producto de dos números de esta forma es un número de este formulario (esto fue visto a través de Fibonacci Brahmagupta de identidad).
Si $x^2 + 2y^2 ≡ 0 \pmod p$ $\left(\frac{−2}{p}\right) = −1$ implica que tanto $x, y \equiv 0 \pmod p$$x^2 + 2y^2 \equiv 0 \pmod {p^2}$ .
Aquí $\left(\frac{−2}{p}\right)$ es el símbolo de Legendre. También tenga en cuenta que $$\left(\frac{−2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2 - 1}{8} + \frac{p - 1}{2}}.$$ From here you can conclude that $\left(\frac{-2}{p}\right) = -1$ if and only if $p$ is of the form $5$ or $7 \bmod 8$.
Para el caso contrario ver aquí.
Esto es suficiente para mostrar que cada primer 1 o 3 mod 8 pueden ser expresadas en este formulario. Comenzar mostrando que existe una solución modulo $p$, a continuación, extender esto a los enteros por una aplicación de Minkowski del Teorema.
Las plazas modulo 8 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1, 0 y el doble de las plazas modulo 8 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0. Por lo tanto, $x^2 + 2y^2 \equiv 0, 1, 2, 3, 4$ o $6 \pmod 8$. Así que si un prime $p \equiv 5$ o $7 \pmod 8$ entonces no puede ser de la forma $x^2 + 2y^2$.
Hasta ahora sólo he utilizado métodos de primaria, y tal vez el resto de lo que estoy pensando que puede lograrse sin recurrir a la teoría algebraica de números. Pero ya que has etiquetado a esta pregunta con esa etiqueta, voy a seguir adelante y aprovechar a los métodos de la teoría algebraica de números. No sé cuánto usted sabe sobre él, y ciertamente no puede reclamar a ser un experto. Por favor tengan paciencia conmigo si me parece ser la repetición de hechos básicos que usted ya sabe.
Si $a$ $b$ son enteros en el sentido usual de la palabra, a continuación,$$(a - b\sqrt{-2})(a + b\sqrt{-2}) = a^2 + 2b^2.$$ Essentially we have computed the algebraic norm of $ un \pm b\sqrt{-2}$, both of which are algebraic integers in the ring $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$, and their product (this norm) is an integer in the usual sense (a whole, purely real rational number). All numbers in $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ are of the same form as $\pm b\sqrt{-2}$, y el producto de los números en este anillo es también un número en este anillo, que es otra manera de decir que este anillo es cerrado bajo la multiplicación.
Desde $b$ puede ser 0, todos los puramente reales racionales enteros (anotada $\mathbb{Z}$ o $\textbf{Z}$) se encuentran en este anillo. Pero ciertos números primos de $\mathbb{Z}$ "composite"$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$:
Obviamente, los números 5 y 7, que son los principales en $\mathbb{Z}$ son todavía prime en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ (son inertes de los números primos). Estos inerte de los números primos no puede ser expresado como $a^2 + 2b^2$.
Pero si $p \equiv 5$ o $7 \pmod 8$ $\alpha$ es incluso, a continuación,$p^\alpha = (p^{\frac{\alpha}{2}})^2$. Asignar $q = p^{\frac{\alpha}{2}}$. A continuación,$p^\alpha = (q - 0\sqrt{-2})(q + 0\sqrt{-2})$. Para resolver satisfactoriamente el problema que usted todavía necesita para demostrar lo que sucede cuando las $\alpha$ es extraño, pero estoy seguro de que puede resolverlo por sí mismo.
Me gustaría cerrar con un par de ejemplos:
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