Versión corta de la pregunta: ¿puede un "continuo" convexo combinación de no ser elemento de la convex hull?
Yo no soy un matemático, así que por favor discúlpame si no estoy precisa. Considero en primer lugar, por ejemplo, de 4 dimensiones reales valores de los vectores $a \in \mathbb{R}^4$. Ahora consideremos un conjunto de $n$ vectores $a_i, i={1,2,...,n}$ y el conjunto que contiene todas las combinaciones convexas de estos vectores \begin{equation} C=\left\{\sum_{i=1}^k \hat{w}_i a_i | k\in\{1,2,...,n\}, i\in\{1,2,...,n\}, \sum_{i=1}^k \hat{w}_i = 1, \hat{w}_i \geq 0 \forall i\right\} \ . \end{equation} Entiendo que la definición de la convex hull, ver 3.definición en Wikipedia, el conjunto $C$ es el casco convexo de estos vectores y trivialmente cualquier combinación convexa de los vectores se encuentra en $C$.
Ahora, estoy echando un vistazo en el siguiente problema sobre un no-convexa de la región de $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ para que el vector vector de valores de las funciones de $a(x) \in \mathbb{R}^4$ $x \in \Omega$ \begin{equation} \lambda = \int_\Omega w(x) a(x) dx \in \mathbb{R}^4 \end{equation} real con los valores de $w(x) \in \mathbb{R}$ con las siguientes propiedades \begin{equation} \int_\Omega w(x) dx = 1 , \quad w(x) \geq 0 \quad \forall x \in \Omega \end{equation} en lo $w(x)$ es una distribución. Debido a las propiedades de $w(x)$, me interpretar para cualquier $w(x)$ integral $\lambda$ a ser un "continuo" convexa de la combinación de los valores de $a(x)$$\Omega$. El conjunto de todas las posibles $\lambda$ para todas las distribuciones $w(x)$ tener las propiedades mencionadas anteriormente, se denota como \begin{equation} \Lambda = \left\{\lambda | \lambda = \int_\Omega w(x) a(x) dx , \int_\Omega w(x) dx = 1 , w(x) \geq 0 \quad \forall x \in \Omega\right\} \end{equation} y el casco convexo de todos los valores de $a(x)$ \begin{equation} \Gamma = \left\{\sum_{i=1}^k \hat{w}_i a(x_i) | k\in\mathbb{N}, x_i \in \Omega, \sum_{i=1}^k \hat{w}_i = 1, \hat{w}_i \geq 0 \forall i\right\} \ . \end{equation}
Pregunta: son los conjuntos de $\Lambda$ $\Gamma$ el mismo o puedo encontrar una $w(x)$ tal que el resultado de la $\lambda \not\in \Gamma$? Esto sería de alguna manera, muy poco intuitivo para mí, pero yo no soy un matemático. No dejo de pensar en esto con Dirac distribuciones definidas para $\Omega$ e las $n$ va hasta el infinito en el caso de vectores simples, como el esbozado al principio. Por lo tanto, no me puedo imaginar cualquier caso, para que yo debería ser capaz de combinar los valores de $a(x)$ y terminar en el exterior de $\Gamma$. Pero cuanto más leo acerca de las distribuciones, la más extraña de las cosas son posibles! Cualquier ayuda es muy apreciada. Muchas gracias!