Puede un "continuo" convexo combinación de no ser elemento de la convex hull?

Question

Versión corta de la pregunta: ¿puede un "continuo" convexo combinación de no ser elemento de la convex hull?

Yo no soy un matemático, así que por favor discúlpame si no estoy precisa. Considero en primer lugar, por ejemplo, de 4 dimensiones reales valores de los vectores $a \in \mathbb{R}^4$. Ahora consideremos un conjunto de $n$ vectores $a_i, i={1,2,...,n}$ y el conjunto que contiene todas las combinaciones convexas de estos vectores \begin{equation} C=\left\{\sum_{i=1}^k \hat{w}_i a_i | k\in\{1,2,...,n\}, i\in\{1,2,...,n\}, \sum_{i=1}^k \hat{w}_i = 1, \hat{w}_i \geq 0 \forall i\right\} \ . \end{equation} Entiendo que la definición de la convex hull, ver 3.definición en Wikipedia, el conjunto $C$ es el casco convexo de estos vectores y trivialmente cualquier combinación convexa de los vectores se encuentra en $C$.

Ahora, estoy echando un vistazo en el siguiente problema sobre un no-convexa de la región de $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ para que el vector vector de valores de las funciones de $a(x) \in \mathbb{R}^4$ $x \in \Omega$ \begin{equation} \lambda = \int_\Omega w(x) a(x) dx \in \mathbb{R}^4 \end{equation} real con los valores de $w(x) \in \mathbb{R}$ con las siguientes propiedades \begin{equation} \int_\Omega w(x) dx = 1 , \quad w(x) \geq 0 \quad \forall x \in \Omega \end{equation} en lo $w(x)$ es una distribución. Debido a las propiedades de $w(x)$, me interpretar para cualquier $w(x)$ integral $\lambda$ a ser un "continuo" convexa de la combinación de los valores de $a(x)$$\Omega$. El conjunto de todas las posibles $\lambda$ para todas las distribuciones $w(x)$ tener las propiedades mencionadas anteriormente, se denota como \begin{equation} \Lambda = \left\{\lambda | \lambda = \int_\Omega w(x) a(x) dx , \int_\Omega w(x) dx = 1 , w(x) \geq 0 \quad \forall x \in \Omega\right\} \end{equation} y el casco convexo de todos los valores de $a(x)$ \begin{equation} \Gamma = \left\{\sum_{i=1}^k \hat{w}_i a(x_i) | k\in\mathbb{N}, x_i \in \Omega, \sum_{i=1}^k \hat{w}_i = 1, \hat{w}_i \geq 0 \forall i\right\} \ . \end{equation}

Pregunta: son los conjuntos de $\Lambda$ $\Gamma$ el mismo o puedo encontrar una $w(x)$ tal que el resultado de la $\lambda \not\in \Gamma$? Esto sería de alguna manera, muy poco intuitivo para mí, pero yo no soy un matemático. No dejo de pensar en esto con Dirac distribuciones definidas para $\Omega$ e las $n$ va hasta el infinito en el caso de vectores simples, como el esbozado al principio. Por lo tanto, no me puedo imaginar cualquier caso, para que yo debería ser capaz de combinar los valores de $a(x)$ y terminar en el exterior de $\Gamma$. Pero cuanto más leo acerca de las distribuciones, la más extraña de las cosas son posibles! Cualquier ayuda es muy apreciada. Muchas gracias!

Answer 1

Como otros han dicho que los dos conjuntos de la misma. El hecho de que $\Gamma\subset \Lambda$ esencialmente sigue del hecho de que una combinación convexa $\sum_1^k w_i a_i$ es igual a $\int a(x)w(x)\, dx$ $w=\sum_1^k w_i\delta_{a_i}$ (deltas de Dirac concentrado en $a_i$).

El opuesto a la inclusión de la siguiente manera a partir de la desigualdad de Jensen. Considere la función (esto se denomina característica (o indicador) de la función de análisis convexo) $$I_\Gamma(x)=\begin{cases} 0 & x\in \Gamma \\ +\infty & x\notin \Gamma\end{cases}$$ Esta función es convexa y $\Gamma=\{x\ :\ I_\Gamma(x)=0\}$. Ahora vamos a $\lambda = \int a(x)w(x)\, dx\in\Lambda$. Por la desigualdad de Jensen $$ I_\Gamma(\lambda)\le \int I_\Gamma(a(x))w(x)\, dx=0, $$ por lo $I_\Gamma(\lambda)=0$, lo que significa que $\lambda \in \Gamma$.

Answer 2

Una solución es considerar la siguiente caracterización de los conjuntos convexos:

Un conjunto cerrado es convexa si y sólo si es la intersección de cerrados de la mitad de los espacios.

Así, la mitad de todos los espacios son de la forma $x\cdot v \geq c$, por lo que si queremos probar esto en el caso de que $\Gamma$ está cerrado, todo lo que necesitamos es la siguiente: Si $a(x)\cdot v\leq c$ todas partes, $\int_{\Omega}w(x)a(x)\cdot v\,dx\leq c$ para cualquier distribución $w$. Sin embargo, este es trivial por la monotonía: Que el integrando no puede exceder $w(x)c$, por lo que la integral no puede exceder $\int_{\Omega}w(x)c\,dx = c$, como se desee. Esto nos dice que $\Lambda$ es un subconjunto de a $\text{cl}(\Gamma)$.

Para el trabajo de la frontera, que sólo tenga en cuenta que para cualquier punto de $p$, en el límite, hay al menos un plano a través de ella no se cruza en el interior. Por otra parte, si $w(x)$ asigna positivo de peso de una porción de $a(x)$ no en este plano, entonces la integral no será en este plano (ya que será estrictamente por debajo de ella). De lo contrario, $w(x)$ sólo asigna peso en el avión, en cuyo caso estamos tratando con las dos dimensiones analógica del problema (desde la intersección de dicho plano y $\Omega$ $\Gamma$ actúa como se espera). Así, podemos hacer una inducción a prueba en la dimensión que se asegurará de que el límite de las obras.