La transformada inversa de Laplace de $ s^{3/2}-a-bs \over s^{3/2}+a+bs$

Question

¿Cómo puedo resolver la transformada inversa de Laplace como se indica a continuación?

$$\mathscr{L}^{-1}\left( s^{3/2}-a-bs \over s^{3/2}+a+bs \right) $$

donde a y b son constantes.

Sugerencia: podemos considerar

$${ s^{3/2}-a-bs \over s^{3/2}+a+bs} = {1 \over {1+as^{-3/2}+bs^{-1/2}}}-{a \over {s^{3/2}+bs+a}}-{b \over {s^{1/2}+as^{-1}+b}}$$

Apliqué el teorema del residuo a cada uno, y al final obtuve 3 integrales que no pude resolver, están dadas por:

$${1\over \pi} \int_{0}^{\infty}\left({{ax^{-3/2}-bx^{-1/2}}\over {1+(ax^{-3/2}-bx^{-1/2})^2}}\right) \exp(-xt)\,\mathrm{d} x, $$

$${a\over \pi} \int_{0}^{\infty}\left({{x^{3/2}}\over {x^3+(a-bx)^2}}\right) \exp(-xt)\,\mathrm{d} x, $$

y $${-b\over \pi} \int_{0}^{\infty}\left({{x^{1/2}}\over {x+(b-ax^{-1})^2}}\right) \exp(-xt)\,\mathrm{d} x. $$

Gracias.

Answer 1

Racionalizando el denominador, tenemos

$\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s^\frac{3}{2}-a-bs}{s^\frac{3}{2}+a+bs}\right\}$

$=\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{(s^\frac{3}{2}-a-bs)^2}{(s^\frac{3}{2}+a+bs)(s^\frac{3}{2}-a-bs)}\right\}$

$=\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s^3-2s^\frac{3}{2}(bs+a)+b^2s^2+2abs+a^2}{s^3-b^2s^2-2abs-a^2}\right\}$

$=\mathcal{L}^{-1}\{1\}-\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2s^\frac{3}{2}(bs+a)}{s^3-b^2s^2-2abs-a^2}\right\}+\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2(b^2s^2+2abs+a^2)}{s^3-b^2s^2-2abs-a^2}\right\}$

El primer término es la transformada inversa de Laplace de $1$ y es igual a $\delta(t)$ .

El tercer término es la transformada inversa de Laplace de la función racional.

El segundo término puede considerarse de esta manera:

$\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2s^\frac{3}{2}(bs+a)}{s^3-b^2s^2-2abs-a^2}\right\}$

$=\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{\sqrt s}\times\dfrac{2s^2(bs+a)}{s^3-b^2s^2-2abs-a^2}\right\}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{\pi t}}*\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2bs^3+2as^2}{s^3-b^2s^2-2abs-a^2}\right\}$