¿Por qué no podemos obtener un Hamiltoniano por sustitución?

Question

Esta pregunta puede sonar un poco tonta. ¿Por qué no podemos obtener el Hamiltoniano de un sistema simplemente encontrando $ \dot {q}$ en términos de $p$ y luego evaluando el Lagrangiano con $ \dot {q} = \dot {q}(p)$ ? ¿No obtendríamos entonces un Lagrangiano expresado en términos de $t$ , $q$ y $p$ ?

¿Por qué necesitamos usar

$$H(t, q, p) = p \dot {q} - L(t, q, \dot {q})?$$

¿O es que cualquiera que sea el método de Lagrange para encontrar $ \dot {q}= \dot {q}(t,q,p)$ . Nos dará esa ecuación para $H$ ?

Answer 1

Una observación bastante básica para hacer es que por lo general podemos identificar claramente

$$L = T-U$$

donde $T$ es la energía cinética y $U$ es la energía potencial, y

$$H = T+U$$

Expresando estas cantidades para, por ejemplo, un La primavera con forma de gancho (o cualquier sistema donde $U \neq 0$ ) te daría un problema con el signo de $U$ si simplemente sustituyes la expresión que encuentras por $ \dot {q}(p)$ en el Lagrangiano. $^1$ Así que el Hamiltoniano definitivamente no es sólo el Lagrangiano con $ \dot {q}$ expresada en términos de $p$ .

Más matemáticamente expresado, el Hamiltoniano se define como el La transformación de la leyenda de los Lagrangianos. (para algunas elaboraciones sobre la transformación de Legendre - particularmente en el contexto del Lagrangiano y el Hamiltoniano - ver mi respuesta aquí así como las otras respuestas a esa pregunta)

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$^1$ De hecho, el Lagrangiano para tal sistema (1D) sería

$$L(q, \dot {q}[,t]) = \frac {m \dot {q}^2}{2} - \frac {kq^2}{2}$$

para el cual el impulso conjugado canónicamente es

$$p = \frac { \partial L}{ \partial \dot {q}} = m \dot {q}$$

y por lo tanto

$$ \begin {align} H(q,p[,t]) &= m \dot {q} \cdot\dot {q} - \frac {m \dot {q}^2}{2} + \frac {kq^2}{2} \\ &= \frac {m \dot {q}^2}{2} + \frac {kq^2}{2} \\ H(q,p[,t]) &= \frac {p^2}{2m} + \frac {kq^2}{2}. \end {align}$$

Sólo inserta $p$ en el Lagrangiano daría lugar a

$$ \frac {p^2}{2m} - \frac {kq^2}{2}.$$

Observe la diferencia de signos del segundo término.

Answer 2

Si bien aprecio que la respuesta de Wouter demuestre que no se puede realizar la sustitución mencionada, en mi opinión no responde a la pregunta (es decir, por qué no funciona la sustitución).

La confusión subyacente probablemente proviene del hecho de que en matemáticas si la sustitución $ \dot {q}(p)$ se inserta en $f \left (t,q, \dot {q} \right )$ ciertamente terminará con una función $f \left (t,q, \dot {q} \right )=g \left (t,q,p \right )$ .

La verdadera respuesta a la pregunta entonces, es que los formalismos Lagrangianos y Hamiltonianos son sólo dos paradigmas diferentes, y no importa lo que pongas en el Lagrangiano en lugar de $ \dot {q}$ siempre terminarás con otro Lagrangiano (pero para un problema diferente). En otras palabras, el $L$ delante de $ \left (t,q, \dot {q} \right )$ tiene implicaciones diferentes a las de la $H$ como la acción estacionaria, $n$ ecuaciones de segundo orden para $n$ coordenadas (donde $n$ es el número del grado de libertades) vs. $2n$ ecuaciones de primer orden para $2n$ coordenadas, etc. Esto es diferente al caso de las matemáticas donde $f$ no conlleva ninguna otra suposición diferente a $g$ .

Answer 3

Lo que escribiste es un cambio variable en el marco del mismo Lagrangiano. Sigue siendo un Lagrangiano.

Answer 4

Yo diría que la razón por la que su método falla es porque la conversión entre la dinámica Lagrangiana y Hamiltoniana es no una simple sustitución, sino a través de la transformación matemática de las bases de coordenadas conocidas como La transformación de Legendre en términos de las funciones Hamiltonianas y Lagrangianas $$H \left (q,p \right ) = \frac { \partial L}{ \partial \dot {q}} \dot {q}-L \left (q, \dot {q} \right )$$

Como Wouter señala la transformación que ofreces no da en realidad la transformación correcta.

Answer 5

El cálculo de un Hamiltoniano a partir de un Lagrangiano nos lleva a una nueva cantidad, que es una función de coordenadas y momenta. Si simplemente sustituimos la velocidad en función del momento en el Lagrangiano, entonces el "Hamiltoniano" dependerá de la velocidad implícitamente. Esto no es lo que queremos.

Déjeme mostrarle un ejemplo para explicar por qué el Hamiltoniano (el habitual) no depende de la velocidad. Digamos que el sistema es unidimensional. Así que el Lagrangiano es $L=L(q, \dot q)$ . La ecuación de Euler-Lagrange es

$ \frac { \mathrm {d}}{ \mathrm dt} \frac { \partial L}{ \partial \dot q}= \frac { \partial L}{ \partial q}$ .

El impulso canónico es $p= \partial L/ \partial \dot q$ . Si hacemos la transformación de Legendre, tenemos

$H(p,q)=p \dot q-L(q, \dot q(p))$

y considerar la variación de $H$ :

$ \delta H=p \delta \dot q+ \dot q \delta p- \frac { \partial L}{ \partial q} \delta q- \frac { \partial L}{ \partial\dot q} \delta \dot q$ .

Ahora podemos conectar la definición de $p$ :

$ \delta H= \dot q \delta p- \frac { \partial L}{ \partial q} \delta q$

lo que demuestra que $H$ no es una función explícita de $ \dot q$ que es lo que queremos.