Solución a $e^{e^x}=x$ y otras aplicaciones de iterado de funciones?

Question

Al intentar resolver $e^{e^x}=x$, me encontré con la solución simple $x=-W(-1)$. Lo encontré a través de la ecuación $$e^x=x$$Then powering both sides with a base $e$.$$e^{e^x}=e^x$$Now note that the left side of the original equation equals the right side of my new equation. Therefore:$$e^{e^x}=e^x=x$$The solution at the beginning is very easy to solve for with the Lambert W function, unlike the actual equation I was trying to solve: $e^{e^x}=x$.

El que me hizo darme cuenta de que si $f(x)=x$, $f[f(x)]=x$ o, más en general, $f_n(x)=x$ equivalente a pedirle $f(x)=x$ para cualquier entero $n\ne0$ (voy a utilizar subíndices para describir la cantidad de veces que una determinada función iterada).

Me confirmó esta solución mediante la resolución de $L(x)=x$ donde $L(x)=mx+b$, la ecuación lineal. No importa cuántas veces, me $L(L(L(L(\cdots L(x)\cdots))))=x$, la solución siempre es $x=-\frac b{m-1}$.

Que me hizo preguntarme si yo podría crear una solución general para el polinomio de cuarto grado $P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$.

El uso de $F(x)=px^2+qx+r$.

$F[F(x)]=$algunos realmente grandes cuártica.

También tenga en cuenta que estamos tratando de solucionar $P(x)=F[F(x)]=F(x)=x$.

Si usted está tratando de encontrar las raíces, sólo tiene que añadir $x$ a ambos lados.

Ahora vamos a probar a ver lo $F[F(x)]$ es igual. (Tenga en cuenta que probablemente voy a cometer algunos errores.)

$$F(x)=px^2+qx+r$$$$F[F(x)]=p(px^2+qx+r)^2+q(px^2+qx+r)+r$$$$=p^3x^4+(2p^2q)x^3+(p(q^2+qp+2pr))x^2+(q^2+2qpr)x^1+(pr^2+qr+r)x^0$$

Y estamos tratando de hacer es igual a $P(x)$.

$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=p^3x^4+(2p^2q)x^3+(p(q^2+qp+2pr))x^2+(q^2+2qpr)x^1+(pr^2+qr+r)$$

Tratar de equiparar las partes? Yo estoy seguro de que si que va a funcionar, pero de todos modos...$$a=p^3$$$$b=2p^2t$$$$c=p(q^2+qp+2pr)$$$$d=q^2+2qpr$$$$e=pr^2+qr+r$$

Si alguien quiere hacer eso, mi huésped, porque se ve desordenado.

Una nota sin embargo, es que cuando hayamos terminado con esto, debemos obtener dos respuestas. Esto es debido a que de la ecuación cuadrática. Sin embargo, un polinomio de cuarto grado deben de tener 4 soluciones, lo que significa que perdió 2.

Sin embargo, podemos hacer esto. Supongamos que hemos encontrado $x_1=y$$x_2=z$. A continuación,$P(x)-x=0$, después de lo cual se puede dividir por nuestras soluciones:$$\frac{P(x)-x}{(x-y)(x-z)}=0$$

Dividir y simplificar para obtener una ecuación cuadrática que se resuelve fácilmente.

Por último, si esto funciona, tal vez podamos hacer esto para un niño de 8 º grado del polinomio, o cualquier $2^n$th grado del polinomio para el caso. Sólo el uso de $F[F(F(x))]=x$ para un sextic polinomio y más según sea necesario.

Yo también tenga en cuenta que mientras que $F(x)=x$ produce soluciones para $F[F(x)]=x$, no funciona a la inversa como se muestra arriba.

Así que mis preguntas son las siguientes:

1. Podría haber solucionado $e^{e^x}=x$ sin iterado de funciones o aproximaciones?

2. Podría solucionar $xe^{e^x}=e$ por métodos similares?

3. ¿El método para resolver polinomios de cuarto grado de trabajo? Todavía tengo que hacer cara o cruz de los que están en la Wikipedia o de Wolfram.

4. Hay algo que debo tener en cuenta al utilizar mi método? Porque me he dado cuenta de que el fracaso para encontrar todas las soluciones de un polinomio y la duda he encontrado todas las soluciones en otras funciones con este método.

5. ¿De qué otra manera puedo utilizar iterado de funciones para resolver las cosas?

6. Puedo hacer esto por una cantidad infinita de funciones iteradas? Por ejemplo:$$e^{e^{e^{e^{e^{\cdots^x}}}}}=x$$

Answer 1

1. No, pero otros tal vez pueda=)

2. Yo no lo creo, o se puede encontrar un iterada de la función de esta expresión?

3. Sí, pero sólo para ciertos polinomios. Por un polinomio de cuarto grado tiene cuatro grados de libertad ($Q(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$) pero para un iterado cuadrática usted todavía tiene $2$ grados de libertad ($P(x) = x^2+Ax+B$), por lo que es muy improbable que se puede representar una dada polinomio por $P(P(x))$ donde $P$ es un polinomio cuadrático, pero si usted puede, a nadie se le impide el uso de esa técnica.

4. Bueno, la cosa importante a observar es sólo eso $f(x) = x$ implica $f(f(x)) = x$, pero no necesariamente al revés.

5. Sólo soluciones numéricas (o para ciertas pruebas) se puede utilizar un teorema de punto fijo, por ejemplo, el punto fijo de Banach teorema.

6. No por lo general, no se, como $e^{e^{e^{...x}}}$ no está muy bien definido.

Answer 2

Sobre 3

Su método para resolver polinomios de cuarto grado sólo funcionará en algunos casos muy especiales. Tratemos de escoger los coeficientes de $p,q,r$ que generan la cuártica $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$. Entonces, como usted dijo:

$$a=p^3$$

Nos da tres posibles valores de $p$, y luego:

$$b=2p^2q$$

sólo nos da un valor posible de $q$ para cada valor de $p$, y, finalmente,

$$d=q^2+2pqr$$

solo da un valor posible de $r$ para cada valor de $p$. Por lo tanto usted puede crear sólo crear tres diferentes polinomios de cualquier valores de $a,b,d$, pero $c,e$ obviamente podría ser elegido en una infinidad de maneras. Por lo general cuárticas, sólo rara vez funcionan. Dicho esto, si uno pasa a encontrar una cuártica que puede ser resuelto de esta manera, entonces sería una solución muy elegante por cierto.