Demostrar que el límite de una sucesión es $> 0$

Question

Sea $u$ sea la secuencia compleja definida de la siguiente manera :

$u_0=i$ y $ \forall n \in \mathbb N, u_{n+1}=u_n + \frac {n+1-u_n}{|n+1-u_n|} $ .

Considere $w_n$ definido por $\forall n \in \mathbb N,w_n=|u_n-n|$ .

Tengo que demostrar que $w_n$ tiene un límite $> 0$ .

Esto es lo que he probado hasta ahora:

• La secuencia $Im(u_n)$ es decreciente y está limitada por $0$ y $1$ por lo tanto convergente con un límite $\in [0;1]$
• $w_n$ es decreciente y está limitada por $0$ por tanto convergente con límite $l \geq 0$

Así que todo lo que necesito probar ahora es que $l \neq 0$

Intenté una prueba con contradicción, pero no pude completarla...

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Considere la secuencia $z_n = n+1 - u_n$ . Entonces tenemos $z_0 = 1 - i$ y la recursión

$$z_{n+1} = n+2 - u_{n+1} = 1 + \left(n+1 - u_n - \frac{n+1-u_n}{\lvert n+1-u_n\rvert}\right) = 1 + \left(1 - \frac{1}{\lvert z_n\rvert}\right)z_n.\tag{1}$$

Ahora es fácil demostrar inductivamente

1. $\lvert z_n\rvert > 1$ ,
2. $\Re z_n \geqslant 1$ ,
3. $-1 \leqslant \Im z_n < 0$ ,
4. $\Re z_{n+1} > \Re z_n$ ,
5. $\Im z_{n+1} > \Im z_n$ .

Escribir $r_n = \lvert z_n\rvert$ , $\Re z_n = x_n$ , $\Im z_n = y_n$ la recursividad $(1)$ produce

$$\begin{align} x_{n+1} &= 1 + \frac{r_n-1}{r_n}x_n = x_n + \left(1 - \frac{x_n}{r_n}\right) > x_n \geqslant 1,\\ y_{n+1} &= \frac{r_n - 1}{r_n}y_n, \end{align}$$

desde $r_n > 1$ y $y_n \neq 0$ . Además tenemos

$$\begin{align} r_{n+1}^2 &= \left(1 + \frac{r_n-1}{r_n}x_n\right)^2 + \left(\frac{r_n - 1}{r_n}y_n\right)^2\\ &= 1 + 2\frac{r_n-1}{r_n}x_n + \left(\frac{r_n - 1}{r_n}\right)^2(x_n^2+y_n^2)\\ &= 1 + 2\frac{r_n-1}{r_n}x_n + (r_n-1)^2\\ &= r_n^2 - 2(r_n-1)\left(1-\frac{x_n}{r_n}\right)\\ & < r_n^2, \end{align}$$

por lo que la secuencia $z_n$ también está acotada. Como las sucesiones de las partes real e imaginaria son monótonas, la sucesión converge, digamos, a $z_\ast = x_\ast + iy_\ast$ .

Dado que el factor por el que disminuye la parte imaginaria está acotado lejos de $1$ podemos concluir $y_\ast = 0$ .

Como la secuencia de partes reales es estrictamente creciente, tenemos

$$x_\ast > x_1 = \Re \left(1 + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)(1-i)\right) = 2 - \frac{1}{\sqrt{2}} > 1.$$

Y eso significa

$$l = \lim_{n\to\infty} \lvert n - u_n\rvert = \lim_{n\to\infty} \lvert z_n - 1\rvert = x_\ast - 1 > 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$w_{n+1}=|u_{n+1}-(n+1)|\\ =\left|u_n-n+\frac{n+1-u_n}{|n+1-u_n|}-1\right|\\ =\left|u_n-(n+1)-\frac{u_n-(n+1)}{|u_n-(n+1)|}\right|\\=v_{n}\left|1-\frac{1}{v_{n}}\right|$$ donde $$v_{n}=|u_n-(n+1)|$$ Por lo tanto $$w_{n+1}=v_n-1$$ porque $v_n\ge 0\ \forall \ n\ge 0$ . Ahora bien, si $u_n=x_n+iy_n,\quad x_n,y_n\in \mathbb{R}\ \forall\ n\ge 0$ Entonces, $$v_n=\sqrt{(x_n-n-1)^2+(y_n)^2}$$ por lo que a partir de las relaciones de recurrencia, obtenemos $$x_{n+1}=x_n+\frac{n+1-x_n}{v_n}=x_n\left(1-\frac{1}{v_n}\right)+\frac{n+1}{v_n}=x_n\frac{w_{n+1}}{v_n}+\frac{n+1}{v_n}\\ y_{n+1}=y_n\left(1-\frac{1}{v_n}\right)=y_n\frac{w_{n+1}}{v_n}$$

Ahora, claramente, $v_n\ge 1\Rightarrow \{y_n\} $ es una secuencia decreciente. También, $$x_{n+1}-x_n-1=\frac{n+1-x_n}{\sqrt{(n+1-x_n)^2+y_n^2}}-1\le 0$$ Por lo tanto $\{x_{n}-n\}$ es una secuencia decreciente. Por lo tanto $$v_n=\sqrt{(x_n-n-1)^2+y_n^2}\ge \sqrt{(x_{n+1}-(n+1)-1)^2+y_{n+1}^2}=v_{n+1}$$ es decir $\{v_n\}$ es una secuencia decreciente.

Ahora, $\frac{w_{n+1}}{v_n}<1\ \forall n \ge 0$ y es una secuencia decreciente. Por lo tanto, para $N\in \mathbb{Z^+}$ , $\frac{w_{N+1}}{v_N}<\alpha<1$ . Entonces $\frac{w_{n+1}}{v_n}<\alpha$ para todos $n\ge N$ . Por lo tanto, $\forall n\ge N$ $$y_{n+1}<\alpha y_n<\cdots<\alpha^{n+1}\cdot 1$$ Por lo tanto, $\lim_{n\rightarrow \infty}y_n\le 0$ . Pero, puesto que $v_n\ge 1,\ y_n\ge 0$ . Por lo tanto $$\lim_{n\rightarrow \infty}y_n=0$$ Ahora, $\{n+1-x_n\}$ está aumentando $$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}(n+1-x_n)>1+1-x_1=2-\frac{1}{\sqrt{2}}$$ Por lo tanto $$\lim_{n\rightarrow \infty}v_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{(x_n-n-1)^2+(y_n)^2}\\=\sqrt{\lim_{n\rightarrow \infty}(x_n-n-1)^2+\lim_{n\rightarrow \infty}(y_n)^2}=\sqrt{\lim_{n\rightarrow \infty}(-x_n+n+1)^2}=\lim_{n\rightarrow \infty}(-x_n+n+1)>2-\frac{1}{\sqrt{2}}>1$$ Por lo tanto $$\lim_{n\rightarrow \infty}w_n=\lim_{n\rightarrow \infty}v_{n-1}-1>0$$

Answer 3

Bueno, las otras pruebas son bastante largas... Supongo que esta es más corta.

Un simple cálculo demuestra que la secuencia $n-Re(u_n)$ está aumentando.

Ahora bien, por contradicción, si $l=0$ entonces $|Re(u_n-n)|=n-Re(u_n)$ converge a $0$

Pero $n-Re(u_n)$ está aumentando.

Por lo tanto $\forall n \in \mathbb N, n-Re(u_n) = 0$

Eso es una contradicción.

Me gustaría dar las gracias a los usuarios que dieron una solución válida con un límite inferior para $w_n$ .