Condiciones suficientes para $M(X \times Y, Z)$ a ser homeomórficos a $M(X, M(Y, Z))$

Question

Deje $Y^X$ denota el conjunto de todas las funciones $f: X \to Y$. Si $X$ $Y$ son espacios topológicos, vamos a $M(X,Y)$ denota el conjunto de todas continua mapas de $f: X \to Y$, dotado con el compacto-abierta de la topología. Considerar las funciones $\varphi: Z^{X \times Y} \to (Z^Y)^X$ $\psi: (Z^Y)^X \to Z^{X \times Y}$ definido por $\varphi(f)(x)(y) = f(x,y)$$\psi(g)(x,y) = g(x)(y)$, para todos los $f \in Z^{X \times Y}$, $g \in (Z^Y)^X$, $x \in X$ y $y \in Y$. Es fácil comprobar que $\varphi$ $\psi$ son de mutuo funciones inversas.

En Aguilar de la Topología Algebraica de una Homotopical punto de vista, nos encontramos con los siguientes resultados:

1.3.1. Teorema. Si $X$, $Y$ y $Z$ son espacios topológicos con $Y$ Hausdorff localmente compacto, entonces la imagen de a $M(X \times Y, Z)$ bajo$\varphi$$M(X, M(Y,Z))$, mientras que la imagen de $M(X, M(Y,Z))$ bajo$\psi$$M(X \times Y, Z)$. Por lo tanto, las restricciones a $\varphi \restriction M(X \times Y, Z)$ $\psi \restriction M(X, M(Y,Z))$ son inversas bijections entre el$M(X \times Y, Z)$$M(X, M(Y,Z))$.

1.3.2. Teorema. Si $X$, $Y$ y $Z$ son espacios topológicos tal que $X$ $Y$ son Hausdorff y $Y$ es localmente compacto, entonces $\varphi \restriction M(X \times Y, Z)$ es un homeomorphism en $M(X, M(Y,Z))$.

Mi duda es sobre el último teorema anterior. No puedo ver en su prueba en la que la condición de $X$ Hausdorff entran en juego. Es que el problema realmente importante? Aquí está una foto que muestra a esta prueba y su contexto en el libro:

Para confundirme más, Dugundji la Topología presenta la siguiente:

5.3 Teorema (capítulo XII). Si $X$, $Y$ y $Z$ son espacios topológicos con $Y$ Hausdorff localmente compacto y $X$, $Z$ arbitraria, a continuación, $\varphi \restriction M(X \times Y, Z)$ es un homeomorphism en $M(X, M(Y,Z))$.

He adaptado la terminología y notación en esta declaración, pero la palabra "arbitraria" realmente aparece en el libro. Así, es la condición de $X$ Hausdorff prescindible? ¿Por qué Aguilar et al. incluir esta condición en la declaración del Teorema 1.3.2?

Answer 1

En primer lugar, hay diferentes opciones para definir la compacidad local fuera de los espacios de Hausdorff. Siguientes implicaciones espera. Si un punto tiene barrio de base compacto de barrios, luego, compacto barrio. Si todos los puntos tienen compacto barrios y el espacio es Hausdorff, entonces es regular. Si todos los puntos tienen compacto barrios y el espacio es regular (no necesariamente Hausdorff), a continuación, todos los puntos tienen vecindario bases compacto de los barrios. Voy a llamar a un espacio localmente compacto iff todos los puntos de barrio bases compacto de los barrios.

Por el teorema 1.3.1. $φ$ es inyectiva función de $M(X × Y, Z) \to M(X, M(Y, Z))$ cualquier $X, Y, Z$. Si queremos que sea, tenemos local de la compacidad de $Y$ (Hausdorff no es necesario). También tenga en cuenta que al tener este bijection significa que $– × Y$ que queda adjunto a $M(Y, –)$.

Ahora para la topología en $M(A, B)$. Es compacto-abierta. Pero lo compacto de subconjuntos consideramos nosotros? Todos? Hausdorff sólo? Esto importa. Dugundji considera sólo compactos de Hausdorff y es por eso que él no necesita $X$ a ser Hausdorff.

Para $φ$ ser continua usted no necesita $Y$ a ser localmente compacto. Se necesita que la $U^{K × L}$ está abierto en $M(X × Y, Z)$ y que establece $(U^L)^K$ formulario subbasis de $M(X, M(Y, Z))$ $U$ abierta en $Y$ y $K$, $L$ considera pactos en $X$, $Y$ respectivamente. Para el primero, necesitamos $K × L$ que se considera compacto. Para esto último necesitamos $K$ a ser normal. (No estoy seguro de si es un producto de la no-normal pactos es normal.) Así, por $φ$ a ser continua, podemos considerar sólo Hausdorff (o regular) pactos o considerar cualquier compacta y se supone que $X$ es Haussdorf (o regulares).

Para $φ$ a ser homeomorphism necesitamos las condiciones anteriores y $U^{K × L}$ para formar un subbasis de $M(X, M(Y, Z))$. Para ello necesitamos $K$, $L$ para ser regular (o tal vez K suficiente ya que $Y$ es localmente compacto). En suma, si consideramos sólo a los compactos de Hausdorff (o incluso sólo los pactos), entonces el teorema se mantiene incluso sin Hausdorff asunción (para$X$$Y$). Por otro lado, si asumimos $X, Y$ a ser Hausdorff (tal vez sólo $X$ sería suficiente), a continuación, todos los pactos son regulares, por lo que el teorema también se mantiene.

Actualización: Aquí está más pulido declaración. Vamos a considerar todos los pactos en la definición de compacto-abierta de la topología. Entonces necesitamos $Y$ a ser localmente compacto y $X$ tener sólo los pactos. Esta segunda condición se mantiene para ambos $X$ Hausdorff o $X$ regular. Existe una noción de preregular espacio que significa que cualquiera de los dos topológicamente distinguibles puntos están separados por distintos barrios. Así Hausdorff es exactamente preregular + $T_0$ y regular implica preregular. Por otra parte, los pactos en preregular espacio regular. Así tenemos la siguiente declaración: Si $X$ es preregular y $Y$ es localmente compacto (no necesariamente de Hausdorff), a continuación, $φ: M(X × Y, Z) \to M(X, M(Y, Z))$ es un homeomorphism.

Answer 2

La suposición de que $X$ es Hausdorff es ya utilizado en el primer paso de la muestra de prueba en la afirmación de que los conjuntos de la forma "$(U^L)^K$" formar un subbasis. Dicho reclamo sigue del Lema~XII.5.1 (un) de Dugundji de la Topología. Alternativamente, ver Tammo tom Dieck del Topologie, Satz 11.1.

Tenga en cuenta que, en Topología, Dugundji implícitamente asume todos los espacios Hausdorff! Esto se menciona en la introducción. Hay también un recordatorio muy al principio de la sección XII.6.

Dicho esto, no sé si la suposición sobre la $X$ es esencial o si sólo te hace más conveniente la prueba.