Suma fórmula nombre

Question

¿Cuál es el nombre de la siguiente sumatoria de fórmula?

$$\sum_{k = 1}^n f(k)) = \int_1^{n + 1} f - \frac{f(n + 1) + f(0)}2 + \int_1^{n + 1} f'w,$$ where $w$ is the "sawtooth" function, defined by $w(x) = (x (k + 1/2))$, for $k < x <= k + 1$, if $k$ es un número entero.

A partir de esta fórmula se puede obtener la suma de los primeros $n$ $k$-th poderes. No adivinar es necesario, usted sólo tiene que girar el cigüeñal. Sin embargo, usted tiene que comenzar en 1 y su forma de trabajo. Por lo tanto, si desea que la fórmula para la suma de los primeros a $n$ cubos, digamos, a continuación, la primera vez que use esta fórmula para encontrar la fórmula para la suma de los primeros a $n$ 1-st poderes, y, a continuación, utilizar toda esta información para encontrar la fórmula para la suma de los primeros a $n$ plazas, y luego, finalmente, utilizar toda esta información para encontrar la fórmula para la suma de los primeros a $n$ cubos.

He estado llamando de Gauss Suma Fórmula, pero atribuciones de frecuencia variable, y puede ser más apropiado que yo debería usar. Me llevaron a la leñera. Aquí está la leñera enlace:

La prueba de que $\sum_{k=1}^n k^2$ = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$?

Answer 1

Parece que la fórmula debe leer $$\sum_{k=0}^nf(k)=\int_0^nf(t)\,dt+{f(0)+f(n)\over2}+\int_0^nf'(t)w(t)\,dt$$ where $w(t)=t[t]-1/2$. This is how it's given as (1) at the Wikipedia article on the Euler–Maclaurin formula (it's not Euler-Maclaurin, but is a step along the way to the proof of Euler-Maclaurin). This differs from the way Mike has written it in the handling of $n$ and $n+1$ como límites superiores, y 0 y 1 como límites inferiores, pero seguro que esas diferencias son fáciles de tomar en cuenta.

Estoy de acuerdo con Martin Sleziak que se llama de sumación de Euler (y no de Euler-Maclaurin, a pesar de mi anterior comentario).