El cálculo de monodromy

Question

Estoy ahora aprendiendo acerca de Monodromy de auto-estudio de Rick Miranda del fantástico libro "las Curvas Algebraicas y las superficies de Riemann". Hoy he leído acerca de monodromy, y el monodromy representación de un holomorphic mapa entre compacta de las superficies de Riemann. Entiendo que deberíamos empezar por tener un holomorphic mapa de $F:X \rightarrow Y$, de grado d, donde X e y son las superficies de Riemann y, a continuación, retiramos la rama de puntos de y, y todos los puntos correspondientes en X asignación a ellos. Deje $B=\{b_1,..,b_n\}$ ser los puntos de ramificación, $A=\{a_1,...,a_m\}$ los puntos de ramificación. Así, fijar un punto de $q \in V = Y-B$. Tenemos que hay d preimages de p en $U=X-A$.

Así que para una rama específica del punto b, podemos elegir algunos pequeños abierta de vecindad W de b, por lo que el $F^{-1}(W)$ da un discontinuo de la unión de $W_i$ de abrir los barrios de la asignación de puntos a b. Tomar algún camino recorrido desde nuestro punto de base $q$$q_0 \in W$, llama a este camino de $\alpha$. La elección de algunas pequeñas bucle $\beta$ con punto base p, de la liquidación número 1 alrededor de b, y, a continuación, considerando $\alpha^{-1}\circ \beta \alpha$, da un bucle en V, con sede en la q alrededor de b. Ahora podemos ver que este bucle sólo depende de $\beta$, en algún sentido.

Decir que los puntos que se asigna a b tiene multiplicidad $n_i,...,n_j$. Entonces tenemos que, de acuerdo con la forma normal, hay locales de coordenadas $z_j$ en el abierto de los barrios de arriba, por lo que el mapa toma la forma $z=z_j^{n_j}$. Ahora, tenemos que el bucle alrededor de b, cuando se levante aquí, simplemente producir una permutación cíclica de la preimages en el barrio.

Ahora, mi pregunta es en su mayoría: ¿Cómo puedo aplicar esto concretamente? Tomemos un ejemplo (de Miranda del libro) : "Vamos a $f(z) = 4z^2(z-1)^2/(2z-1)^2$ definir un holomorphic mapa de grado 4 de $P^1$ a sí mismo. Muestran que hay tres puntos de ramificación, y que los tres permutaciones en $S_4$ $\rho_1=(12)(34)$, $\rho_2(13)(24)$ y $\rho_3=(14)(23)$ hasta conjugacy." Puedo encontrar los puntos de ramificación, y veo que la multiplicidad de los dos puntos de la asignación a que tiene multiplicidad 2, pero no veo cómo rigurosamente muestran que los anteriormente mencionados son los asociados permutaciones.

Espero que me estaba claro, y lo siento si yo no estaba.

ACTUALIZACIÓN Ahora, releyendo la pregunta correctamente, tal vez él no me quiere a encontrar el permutaciones específicas, sino que simplemente mostrando que tienen que conjugacy clase. Creo que es el caso. Pero aún sería curioso de cómo encontrar la específica de permutación que el monodromy induce.

Answer 1

Si usted tiene una rama de orden dos en un punto en especial, la inducida por la permutación es un ciclo que cambia las sábanas conectado a la ramificado punto, y si tiene dos orden de dos puntos por encima de su punto de ramificación, se obtiene un producto de dos separe de 2 ciclos. En $S_4$, sólo hay tres elementos de este formulario, que se enumeran en la declaración de la pregunta.

El problema es ver cómo las permutaciones de más de dos puntos de ramificación se relacionan entre sí. La regla a recordar es que el producto de los tres monodromies es trivial, ya que la composición de los tres bucles de los rendimientos de un contráctiles bucle. Si dos permutaciones son iguales, entonces se multiplican a la identidad. Esto no está permitido, porque multiplicando con el monodromy el tercer punto debe ser trivial, y que obliga a que el tercer elemento a ser trivial. La opción restante es que los tres monodromies se corresponden con las tres posibles productos de dos transposiciones de alguna manera.

Esta respuesta es única en el sentido de que la acción de la $S_4$ por el cambio de nombre de los números es transitiva en el conjunto admisible de las asignaciones. De hecho, los factores a través de la permutación de acción de $S_3$ en los tres elementos del grupo en cuestión.

Answer 2

Estoy seguro de que hay mejores formas de hacerlo, pero como nadie ha contestado espero que esto ayude ...

Me gustaría continuar siguiendo la descripción que dan de la siguiente manera, primero los puntos de ramificación se $0,-1$$\infty$, así que si nos sombra de los puntos que se envían a la parte superior del avión bajo el mapa $$ z \to \frac{4z^2(z-1)^2}{(2z-1)^2} $$ obtenemos una triangulación de la esfera se la ramificación de los puntos se colocan en los vértices y las aristas son enviados a uno de los tres segmentos de la línea real $(-\infty,-1),(-1,0),(0,\infty)$. Ahora dar un número a cada triángulo blanco. Un pequeño bucle en torno a uno de los puntos de ramificación, decir $\beta$ provienen de distintos bucles decir $\gamma_1, \gamma_2, \dots$ alrededor de algunos de los vértices, ahora si $\gamma_1$ recortes de los triángulos numeradas $i_1,j_1,k_1, \dots$ (en la lucha contra el reloj orden sabio), $\gamma_2$ recortes de los triángulos numeradas $i_2,j_2,k_2,\dots$ y así sucesivamente, a continuación, asociar al punto de ramificación $\beta$ la permutación $(i_1 j_1 k_1\dots)(i_2j_2k_2\dots)\dots$. En el ejemplo tenemos la siguiente figura:

en esta figura los dos puntos blancos son enviados a $0$, los dos rellenos a $-1$ y la cruz (y $\infty$) $\infty$ la preimagen de un bucle alrededor de $0$ quedará asociado a la permutación $(14)(23)$ como pequeños lazos en torno a la izquierda del punto blanco de la cruz, los triángulos 2 y 3 y un lazo alrededor de la derecha del punto blanco cruza los triángulos 1 y 4. De forma idéntica un bucle alrededor de $-1$ con la permutación $(12)(34)$ y el otro alrededor de $\infty$$(13)(24)$. Renumeración de los triángulos en modo alguno llevar a conjugar los triples.