La ampliación de los números primos

Question

Tuve una idea y me gustaría saber si tiene un nombre o ha sido estudiado antes.

Imaginar los números naturales y las operaciones de adición y multiplicación, pero con la siguiente restricción: la multiplicación sólo puede ser realizado $d$ a veces, y sólo con los números primos. Cualquier número que por lo general tiene más de $d$ factores primos ahora se convierte en 'prime' en el nuevo sistema. Por lo tanto, si $d=2$ decir $8$ se convierte en un nuevo 'prime' porque la costumbre primer descomposición de $8= 2\times2\times2$ toma de 'demasiados' multiplicaciones; del mismo modo, si $d=3$ $16=2\times2\times2\times2$ se convierte en 'prime'.

Ha este tipo de cosas nunca se ha estudiado?

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Edit: se me ha pedido que aclarar esto, así que aquí hay otras dos maneras de describir el mismo objeto.

Geométricamente. En un $d$-dimensional en el espacio Euclidiano, deje $\mathscr{D}$ ser el conjunto más pequeño de números naturales tales que puede representar cada número natural como el volumen de una $d$-dimensiones de la caja con borde longitudes que son miembros de $\mathscr{D}$. $\mathscr{D}$ siempre contiene los números primos, y si $d<\infty$ también contiene otros números. Tal vez sería interesante de comprender a los otros números.

A través de algoritmos. En primer lugar, poner todos los números primos en un conjunto $\mathscr{D}$. Luego, se coloca cada número $n$ $\Omega(n)>d$ $\mathscr{D}$ (donde $\Omega(n)$ es el número de la indistinto primer divisores de $n$). Por último, ir a través de cada uno de los números de $n$ que $\Omega(n)>d$ (es decir, aquellas que se acaba de agregar a $\mathscr{D}$), en orden creciente, y para cada número $n$ que aún no ha sido retirado de $\mathscr{D}$, eliminar de $\mathscr{D}$ cada número $m$ que es producto de $n$ $d-1$ (posiblemente idéntico) números de $k_1,k_2,...,k_{d-1}$ de manera tal que cada una de las $k_i\in\mathscr{D}$ y cada una de las $k_i \le n$. Nos puede llamar a los números restantes en $\mathscr{D}$ '$d$-prime'.

Answer 1

En primer lugar, como Jyrki sugerido, vamos a encontrar en algún otro término que lo que prime. Quizás $d$-Mariusian es la adecuada. Definimos el conjunto $$\mathscr D_d:=\{n\in\mathbb N\mid n \text{ is $d$-Mariusian}\}$$ Ahora, prohibiendo la multiplicación es de alguna manera difícil, así que vamos a encontrar una definición más formal para Mariusian números:

Definición: Dejar $n\in\mathbb N$. $n$ se llama "$d$-Mariusian", si $n\neq 1$ y, o bien $n$ es un primer o $$n=\prod_{i=1}^km_i \;\text{ for }\; m_1,\dots,m_k\in\mathscr D_d \text{ implies } k>d \text{ or } k=1$$

Espero, que esto está de acuerdo con su concepto, de lo contrario, vaya a la siguiente y que me haga saber.

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Nota, que $\mathscr D_1=\mathbb N\setminus\{1\}$$\mathscr D_{\infty}=\mathbb P$. Ahora, estudiemos $2$-Mariusianity.

Si $n$ es primo, tenemos $n\in \mathscr D_2$. Si $n=pq$ para los números primos $p,q$,$pq\not\in\mathscr D_2$.

Deje $n=pqr$ para los números primos $p,q,r$. Suponga $n$ no $2$-Mariusian, entonces es el producto de dos $2$-Mariusian enteros. Sólo hay dos (tipos de) formas de escribir $pqr$ como producto de dos enteros:

• Separados uno prime, yo.e: $n=p(qr)=q(pr)=r(pq)$, pero entonces usted tiene un no $2$-Mariusian factor.
• $n=(pqr)\cdot 1$, pero $1\not\in\mathscr D_2$ (Se puede ver aquí, que es importante para el bienestar de definedness, que hemos definido $1$ no-Mariusian)

Por lo $n=pqr$ $2$- Mariusian. Usted puede ir y ver, que $$n=\prod_{i=1}^kp_i^{e_i}\in\mathscr D_2 \Leftrightarrow 2\nmid \sum_{i=1}^ke_i$$ Ahora usted puede tratar de dar una caracterización de $d$-Mariusianity para arbtirary $d$'s.

Answer 2

No una respuesta, sino un intento de formalizar el OP de la definición:

Deje $M_d(S)$ ser el conjunto de todos los productos de la a a $d$ elementos de $S$.

Definir los conjuntos de $P_i$ $C_i$ recursivamente de la siguiente manera:

• $P_0$ son los números primos;
• $C_i = M_d(P_i) \setminus P_i$;
• $P_{i+1} = M_{d+1}(P_i) \setminus C_i$.

$P_i \subset P_{i+1}$, por lo que podemos decir que un número es primo* si es un elemento de $P_\infty$, es decir, un elemento de $P_i$ algunos $i$.

Tomando $d=2$ y buscando sólo en potencias de 2, tenemos que

• $P_0 = \{2\}$
• $C_0 = \{4\}$
• $P_1 = \{2,8\}$
• $C_1 = \{4,16,64\}$
• $P_2 = \{2,8,32,128,512\}$

y así sucesivamente. Marius, ¿es esto lo que tiene usted en mente?