Demostrar que $\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}+\dfrac{a^2+b^2}{a+b} \ge a+b+c$

Question

Si $a,b,c$ son positivas , muestran que $$\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}+\dfrac{a^2+b^2}{a+b} \ge a+b+c$$

Juicio: "he Aquí que proceder de esta manera $$\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}+\dfrac{a^2+b^2}{a+b} \ge \dfrac{2bc}{b+c}+\dfrac{2ca}{c+a}+\dfrac{2ab}{a+b}$$ entonces, ¿cómo debo proceder. Por favor, ayudar.

Answer 1

Basta para mostrar, por simetría, que

$$\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge \frac{a+b}{2}.$$

Esto es equivalente a

$$2a^2+2b^2\ge a^2+b^2+2ab\iff a^2+b^2\ge 2ab.$$

La última desigualdad es sólo el estándar AM-GM de la desigualdad.

Answer 2

Papa ya ha contestado a esta pregunta de forma elegante. Aquí hay otra solución.

Por Cauchy-Schwarz, obtenemos

$$((b+c)+(c+a)+(a+b))\left(\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}+\frac{a^2+b^2}{a+b}\right)\ge \left(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}+\sqrt{a^2+b^2}\right)^2 $$

Para demostrar la desigualdad original, es suficiente para mostrar que

$$\left(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}+\sqrt{a^2+b^2}\right)^2 \ge 2(a+b+c)^2$$

que se reduce a mostrar

$$\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2+c^2} + \sqrt{c^2+a^2}\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2} \ge 2(ab+bc+ca)$$

Con uno más de la aplicación de Cauchy-Schwarz, $$\begin{align} (b^2+a^2)(b^2+c^2)\ge (b^2+ac)^2 \\ (c^2+b^2)(c^2+a^2)\ge (c^2+ba)^2 \\ (a^2+b^2)(a^2+c^2)\ge (a^2+bc)^2 \end{align}$$ Tomando raíces cuadradas de ambos lados, y la adición de ellos, es suficiente para demostrar $$ a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$$ que es equivalente a $$ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0$$ Por lo que se hacen :) estoy de acuerdo en que es un poco excesivo. Pero me gusta de Cauchy-Schwarz desigualdad.

Answer 3

Tenemos por Titu del Lexema, para cualquier $x,y$ reales y $a,b >0$

$ \dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b} \ge \dfrac{(x+y)^2}{a+b}$

$\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}+\dfrac{a^2+b^2}{a+b} \ge a+b+c$ es bastante directa. :)