El problema de la limitación en el libro: $\lim_{n\to\infty}\frac{1+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}}{n^{3/2}}$

Question

Mi libro de los estados que la $$ \lim_{n\to\infty}\frac{1+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}}{n^{3/2}}= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left[\frac{1+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}}{n^{1/2}}\right]=\frac{2}{3}. $$ Pero yo no lo veo. Estaba pensando que si el $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$ then the whole thing would equal 0 but I don't see how to get $\frac{2}{3}$. Gracias

Answer 1

Dibujar la gráfica de $y=\sqrt{x}$. En rojo, dibujar el rectángulo con base $[0,1]$ y la altura de la $\sqrt{1}$, el rectángulo con base $[1,2]$ y la altura de la $\sqrt{2}$, y así sucesivamente hasta el rectángulo con base $[n-1,n]$ y la altura de la $\sqrt{n}$.

En azul, dibujar el rectángulo con base $[1,2]$ y la altura de la $\sqrt{1}$, el rectángulo con base $[2,3]$ y la altura de la $\sqrt{2}$, y así sucesivamente hasta el rectángulo con base $[n,n+1]$ y la altura de la $\sqrt{n}$.

A continuación, $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots +\sqrt{n}$ es la suma de las áreas de los rectángulos rojo, y también es la suma de las áreas de los rectángulos azules. Llame a esta suma $S_n$.

A continuación, $S_n$ es mayor que el área bajo$y=\sqrt{x}$$x=0$$x=n$, y menor que el área bajo $y=\sqrt{x}$$x=1$$x=n$. Así $$\int_0^n \sqrt{x}\,dx\lt S_n\lt \int_1^{n+1} \sqrt{x}\,dx.$$ Calcular. Tenemos $$\frac{2}{3}n^{3/2} \lt S_n\lt \frac{2}{3} ((n+1)^{3/2}-1).$$ Dividir a través de por $n^{3/2}$. Tenemos $$\frac{2}{3}\lt \frac{S_n}{n^{3/2}}\lt \frac{2}{3}\frac{(n+1)^{3/2}-1}{n^{3/2}}.$$ Ahora vamos a $n\to\infty$. La expresión $\frac{(n+1)^{3/2}-1}{n^{3/2}}$ limit $1$, por lo que Apretando llegamos $\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n^{3/2}}=\frac{2}{3}$.

Answer 2

Como $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac1n\sum_{r=1}^n f\left(\frac rn\right)=\int_0^1f(x)dx$

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{1\le r\le n}\sqrt{\frac rn}=\int_0^1\sqrt xdx$$

Answer 3

Otra variante es utilizar el teorema de Cesaro-Stolz. Allí

\begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{1+\sqrt2+...+\sqrt n}{n^{3/2}} &=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n^{3/2}-(n-1)^{3/2}} \\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}(n^{3/2}+(n-1)^{3/2})}{n^3-(n-1)^3} \\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2(1+(1-\tfrac1n)^{3/2})}{3n^2-3n+1}=\frac23 \end{align}