Puede superficies mínimas se caracteriza por algunos universal de la propiedad?

Question

Como todos los objetos que son mínimas (en algunos aspectos), esto parece totalmente plausible, pero no estoy seguro de qué categoría se debe estar trabajando en el, y las restricciones necesarias, para tener realmente una situación en la que las superficies mínimas estaría caracterizado por un universal de los bienes, si es que alguna vez puede ser. Un inculto supongo que en una posible instalación donde las superficies mínimas sería universal: los objetos son superficies cuyo límite es un hecho simple curva cerrada, y los morfismos de la zona-la reducción de isometrías - parece como una superficie mínima debe ser un objeto final, a pesar de que probablemente íbamos a necesitar para introducir una relación de equivalencia en el morfismos para obtener los mapas de ser único?

También tengo curiosidad acerca de la misma cuestión, pero para geodesics. Tal vez para ellos, debemos utilizar la colección de rutas de un punto a a $x$ a punto de $y$ sobre una superficie dada, y el uso de la longitud decreciente homotopies?

Siendo el objeto final no es la única opción - tal vez, para cualquier superficie, algún tipo de mapa será un factor a través de una mínima superficie asociada a ella?

EDIT: me preocupa esta es, quizás, demasiado suave una pregunta para MathOverflow - no estoy seguro de que no hay realmente una respuesta "correcta".

Answer 1

No estoy seguro de si esta respuesta te ofrece el universal de la propiedad que usted desea, pero hay una categoría que unifica estos conceptos que usted está después.

Cohen, Jones y Segal, introdujo un concepto conocido como el "Flujo de la Categoría de" en el papel de la Teoría de Morse y Clasificación de los Espacios, que se asocia a cualquier colector con una Morse Función de una categoría cuyos objetos son los puntos críticos de la función de Morse y cuyos morfismos son el gradiente de las trayectorias de algunos de gradiente como vector de campo. Aquí está la referencia:

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.38.5003

Usted puede conseguir el papel de Ralph Cohen en la página si no tienes acceso a la universidad:

http://math.stanford.edu/~ralph/papers.html

Recordemos que de la Teoría de Morse fue inventado por Marston Morse para el estudio de geodesics en los colectores. Geodesics corresponden precisamente a los puntos críticos de la Energía funcional. Me imagino que cualquier problema variacional encaja en este marco.

Como una palabra de precaución, la comprensión del espacio del gradiente de trayectorias se encuentra en el corazón de Floer Teoría, así que si usted quiere entender Morse de la Teoría de espacios de infinitas dimensiones, preparado para ensuciarse las manos con algunos análisis serio. Comentario si quieres más referencias. Además, la mayoría de la anterior artículo tiene que ver con lo que demuestra una muy elegante resultado acerca de la clasificación de espacio de esta categoría para ciertas situaciones. Es muy resbaladiza!