¿Cómo puedo calcular el resultado de llevar un número complejo a la potencia de otro, es decir $\displaystyle {(a + bi)}^{(c + di)}$ ?
Respuestas
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Primero hay que darse cuenta de que se trata de una función multivaluada.
Por comodidad, elegimos el logaritmo principal. Así, nuestro argumento $\theta$ estará entre $(-\pi,\pi]$ .
Entonces escribimos $a+ib = r e^{i \theta} = e^{(ln(r) + i \theta)}$ .
Ahora, obtenemos $(a+ib)^{c+id} = e^{(ln(r) + i \theta)(c+id)}$ . Haz las manipulaciones algebraicas necesarias en el exponente para obtener $e^{(cln(r) - d \theta) + i(d ln(r) + c \theta)}$ . También podría echar un vistazo a la pregunta anterior formulada sobre un tema similar tema .
Andrew
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Bueno, suponiendo valores principales del logaritmo complejo (de lo contrario se producen muchas locuras):
$$(a+bi)^{c+di}=\exp((c+di)\ln(a+bi))$$
$$=\exp((c+di)(\ln|a+bi|+i\arg(a+bi)))$$
$$=\exp((c\ln|a+bi|-d\arg(a+bi))+i(c\arg(a+bi)+d\ln|a+bi|))$$
$$=\exp((c\ln|a+bi|-d\arg(a+bi)))\exp(i(c\arg(a+bi)+d\ln|a+bi|))$$
y te dejaré terminar en este punto, usando el hecho de que $\exp(ix)=\cos\;x+i\sin\;x$
Dan Walker
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Transcribo parte de mi respuesta a esta pregunta .
El exponencial complejo $e^z$ para los complejos $z=x+iy$ preserva la ley de los exponentes de la exponencial real y satisface $e^0=1$ .
Por definición
$$e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos y+\sin y)$$
que coincide con la función exponencial real cuando $y=0$ . El logaritmo principal de $z$ es el número complejo
$$w=\text{Log }z=\log |z|+i\arg z$$
para que $e^w=z$ , donde $\arg z$ (el principal argumento de $z$ ) es el número real en $-\pi\lt \arg z\le \pi$ con $x=|z|\cos (\arg z)$ y $y=|z|\sin (\arg z)$ .
La potencia compleja es
$$z^w=e^{w\text{ Log} z}.$$
En tu caso lo tienes: $z=a+bi,w=c+di$
$$\begin{eqnarray*} \left( a+bi\right) ^{c+di} &=&e^{(c+di)\text{Log }(a+bi)} \\ &=&e^{(c+di)\left( \ln |a+bi|+i\arg (a+bi)\right) } \\ &=&e^{c\ln \left\vert a+ib\right\vert -d\arg \left( a+ib\right) +i\left( c\arg \left( a+ib\right) +d\ln \left\vert a+ib\right\vert \right) } \\ &=&e^{c\ln \left\vert a+ib\right\vert -d\arg(a+bi)}\times \\ &&\times \left( \cos \left( c\arg \left( a+ib\right) +d\ln \left\vert a+ib\right\vert \right) +i\sin \left( c\arg \left( a+ib\right) +d\ln \left\vert a+ib\right\vert \right) \right). \end{eqnarray*}$$
