Los elementos de un verdadero vectorspace ciertamente tiene sentido, pero que en realidad no tienen una magnitud. Bueno, en realidad, que... tipo de tener una magnitud. Pero para una correcta magnitud, necesita más estructura, tales como una norma o interior del producto. Me explico.
Espacios Vectoriales.
Supongamos $V$ es un verdadero vectorspace.
Definición de 0. Dado los vectores $x,y \in V$, podemos decir que el $x$ $y$
tienen la misma dirección iff:
- existe $r \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ tal que $x = ry,$ y
- existe $r \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ tal que $y = rx$.
(El $r$s'no tiene que ser la misma).
Esto induce una relación de equivalencia en $V$, por lo que tenemos una partición de $V$ en las células. Cada célula es un abierto de rayos, mientras nosotros lo que respecta $\{0\}$ como abrir ray. Puede que desee excluir $\{0\}$ desde su privilegiada posición como un rayo, en el que caso de que usted sólo debe ocuparse de vectores no nulos; es decir, usted necesita para tratar con $V \setminus \{0\}$ en lugar de $V$.
Independientemente de que las convenciones se utilizan, podemos hacer que el sentido de la orientación utilizando estas ideas:
Definición 1. La dirección de $x \in V$ es el único rayo $R \subseteq V$ tal que $x \in R$.
Observe que la relación de equivalencia de tener la misma dirección se conserva bajo la multiplicación escalar; lo que quiero decir es que si $v$ $w$ tienen la misma dirección, a continuación, $av$ $aw$ tienen la misma dirección, para cualquier $a \in \mathbb{R}$. Geométricamente, esto significa que si la escala de un rayo, vamos a terminar con un subconjunto de otro rayo.
Como para la magnitud; así, si usted elige un rayo $R \subseteq V$, entonces podemos parcialmente la orden de $R$ como sigue. Dado $x,y \in R$, podemos definir que el $x \geq y$ fib $x = ry$ algunos $r \in \mathbb{R}_{\geq 1}$. Así que algunos de los vectores a lo largo de este rayo son más largos que otros, por lo tanto magnitud.
Producto Interior De Los Espacios.
En realidad, esta no es toda la historia. El problema con los espacios vectoriales es que si $x$ $y$ no pertenecen a la misma ray (ni a los "negativos" de cada uno de los otros rayos), entonces no hay manera de comparar las magnitudes de las $x$$y$. No podemos decir que es más largo! Ahora bien, hay situaciones matemáticas donde esta limitación es deseable, pero físicamente, usted probablemente no quiere esto. Un problema relacionado es que realmente no se puede hacer sentido de los ángulos en un (mero) espacio vectorial; al menos, no sin alguna estructura adicional.
Por esta razón, cuando los físicos dicen "vector", lo que generalmente significa que es "un elemento finito-dimensional interior-espacio del producto." Esta es una (finito-dimensional) espacio vectorial $V$ con más estructura; en particular, viene equipado con una función de
$$\langle-,-\rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{R}$$
que se requiere para satisfacer ciertos axiomas que se asemeja el producto escalar. Especialmente importante para nosotros es que estos axiomas incluir un "no-negatividad" condición:
$$\langle x,x\rangle \geq 0$$
Con esto, podemos definir la magnitud de los vectores de la siguiente manera.
Definición 2. Supongamos $V$ es un verdadero producto interior en el espacio. A continuación, la norma (o "magnitud") de $x \in V$, denotado $\|x\|$, se define la siguiente:
$$\|x\| = \langle x,x\rangle^{1/2}$$
Esto nos permite comparar las magnitudes de los vectores que no viven en el mismo rayo; nos basta con definir que $x \geq y$ $\|x\| \geq \|y\|.$ Cuando se limita a un único rayo, esto está de acuerdo con nuestra anterior definición! Tenga cuidado sin embargo, porque la relación $\geq$ que acabamos de definir es sólo un preorder.
De hecho, el producto interior nos da más que magnitudes; también da a los ángulos!
Definición 3. Supongamos $V$ es un verdadero producto interior en el espacio. A continuación, el ángulo entre la de $x,y \in V$, denotado $\mathrm{ang}(x,y)$, se define la siguiente:
$$\mathrm{ang}(x,y) = \cos^{-1}\left(\frac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\|y\|}\right)$$
Se puede demostrar que los vectores $x$ $y$ tienen la misma dirección (en el sentido descrito en el comienzo de mi post) si el ángulo entre ellos es $0$. De hecho, usted puede modificar la definición anterior, de modo que se define el ángulo entre dos no-cero abrir los rayos. En este caso, resulta que los dos rayos son iguales si el ángulo entre ellos es $0$.
