Cómo encontrar el valor de $x+y+z+u+v+w$

Question

deje $x,y,z,u,v,w$ ser números enteros positivos,y tal $$1949(xyzuvw+xyzu+xyzw+xyvw+xuvw+zuvw+xy+xu+xw+zu+zw+vw+1)=2004(yzvw+yzu+yzw+uvw+y+u+w)$$ Encontrar este valor de $$x+y+z+u+v+w=?$$

Yo: tal vez de usar

$$(x+1)(y+1)(z+1)(u+1)(v+1)(w+1)=(xyz+xy+yz+xz+x+y+z+1)(uvw+uv+uw+vw+u+v+w+1)$$

Answer 1

Esta no es una solución sino un poco progreso hacia la solución señaló en Ewan Delannoy del comentario para mostrar que $x=u=1$$y \ge 36$.

Se deja a cada lado de la ecuación original se $2004 \times 1949 \times k$. La multiplicación de los paréntesis en el lado derecho con $x$ y restando de los paréntesis en el lado izquierdo da $xyzvw(u−1)+xyvw+zuvw+zu+zw+vw+1=(2004−1949x)k$ . El lado izquierdo es positivo lado derecho debe ser positivo para $x=1$.

Si $x=1$,

$yzuvw+yzu+yzw+yvw+uvw+zuvw+y+u+w+zu+zw+vw+1=2004k$,

$yzvw+yzu+yzw+uvw+y+u+w=1949k$.

Desde $z\ge 1$, primera eqn rendimientos $y(zuvw+zu+zw+vw)+2(uvw+u+w)+y+vw+1 \le 2004k$ y dividiendo por segundo eqn rendimientos $\frac{y(zuvw+zu+zw+vw)+2(uvw+u+w)+y+vw+1}{y(zvw+zu+zw+1)+uvw+u+w} \le \frac{2004}{1949}$, lo que implica $\frac{zuvw+zu+zw+vw}{zvw+zu+zw+1} < \frac{2004}{1949}$ o $1949uzvw+1949vw<2004zvw+55(zu+zw)+2004$.

La sustitución de $zu \le uzvw$, $zw \le zvw$, y $1 \le vw$, $1949uzvw+1949vw<2059zvw+55uzvw+2004vw$ o $1894uz<2059z+55$ que se opone a $u \ge 2$.

Con $x=u=1$, las dos ecuaciones se reducen a

$yzvw+yz+yzw+yvw+vw+zvw+y+w+z+zw+vw+2=2004k$,

$yzvw+yz+yzw+vw+y+w+1=1949k$

y la diferencia de las dos ecuaciones es

$yvw+zvw+z+zw+vw+1=55k$.

La relación de las dos últimas ecuaciones es

$\frac{(yz+1)(vw+w+1)+y}{(z+1)(vw+w+1)+yvw-w} = \frac{1949}{55}$.

Pero $y \le yvw - w$ si $v=w=1$. Incluso si $v=w=1$, $y/(yvw - w) \le 1959/55$ así

$\frac{yz+1}{z+1} \ge \frac{1949}{55}$ $y \ge 36$.

Answer 2

Parece que el siguiente.

Me encontré con el problema original (segunda imagen, la resolución de 15). Lamentablemente, el problema de la expresión es largo y complejo y hay erratas en su versión. La formulación correcta debería ser:

$$1949(xyzuvw+xyzu+xyzw+xyvw+xuvw+zuvw+xy+xu+xw+zu+zw+vw+1)= 2004(yzUvw+yzu+yzw+YVW+uvw+y+u+w).$$

El problema fue resuelto por thepiano (aquí o aquí) y weiye (aquí).

Aquí es weiye de la solución. Construir la siguiente continuó la fracción de la representación:

La singularidad de la continuación de la fracción de la representación implica que los valores de las variables están determinadas por la continuación de la fracción representación de $2004/1949$. Por lo tanto $x = 1$, $y = 35$, $z = 2$, $u = 3$, $v = 2$, y $ w = 3$.