¿Por qué es el $0$th poder decir define como la media geométrica?

Question

Se menciona en el artículo de wikipedia, la $0$th potencia media se define como la media geométrica. ¿Por qué es esto? Entiendo que una conveniente consecuencia es que los medios están ordenados por su exponente. Pero hay una razón intuitiva de por qué el $0$th significa que debe ser la media geométrica? Es cierto que

$$\lim_{r\downarrow 0} \left(\frac{a_1^r + \dotsb + a_n^r}{n}\right)^{1/r}= \left( a_1 \dotsb a_n\right)^{1/n}?$$

Si puedo tomar el logaritmo y el uso de L'Hospital de la regla puedo conseguir

$$\ln L = \lim_{r\downarrow 0} \frac{a_1^r + \dotsb + a_n^r}{n\left( a_1^r \ln{a_1} + \dotsb + a_n^r \ln{a_n} \right)}.$$

¿Cómo podríamos evaluar esto?

Answer 1

Utilice el hecho de que como $r \rightarrow 0$, para todos los $a>0$: $$a^r = 1 + r \log a + o(r)$$ Por lo que la suma se convierte en: $$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i^r=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(1 + r \log a_i + o(r))=1+r\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log a_i + o(r)$$

Además $\lim_{r \rightarrow 0} (1+rx + o(r))^{1/r}=e^x$.

$$\lim_{r \rightarrow 0} \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i^r\right)^{1/r}=\lim_{r \rightarrow 0} \left(1+r\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log a_i + o(r)\right)^{1/r}=e^{\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log a_i\right)}= \left( \prod_{i=1}^n a_i\right)^{1/n}.$$