Si, un buen día, alguien encontró una contradicción en ZFC (o incluso ZF), ¿qué implicaciones tendría un evento para los matemáticos? Existe en la actualidad ninguna copia de seguridad de sistema axiomático a la par con ZFC que permitiría a los matemáticos a seguir llevando a cabo las matemáticas, debe ocurrir lo impensable?
Respuestas
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DanV
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A mi modo de ver hay dos resultados posibles:
La contradicción proviene de una muy concreta e identificable parte del sistema, por ejemplo, poder establecer axioma y algunos de reemplazo, que podemos quitar y reemplazar por variantes más leves, igual que hicimos con Frege comprensión del esquema. Vamos, a continuación, vaya a través de las pruebas y comprobar que de las pruebas no puede ser modificado, y es de esperar que la mayoría de las grandes pruebas va a ir a través de, en cuyo caso habrá algunos cambios, pero no demasiado.
La contradicción proviene de una mucho más débil de la teoría, por ejemplo, Axiomas de Peano o algún otro matemáticamente útil de la teoría. En este caso es más que la teoría de conjuntos que tiene un problema. Esto significaría que muchas personas ya se empiezan a buscar alternativas, posiblemente en varios campos. Supongo que el conjunto de los teóricos también tratar de encontrar una mejor teoría.
En cualquiera de los casos habrá un montón de trabajo para ver que los fragmentos de ZFC podemos rescatar, y cómo muchas de las pruebas a las que vamos a pasar. Tenga en cuenta que de la paradoja de Russell, en el tiempo, no fue considerado como un gran problema por los no-lógicos. Así, mientras que la segunda opción podría afectar a muchos matemáticos, la primera opción sería en gran parte ignorada por la mayoría (o será utilizada como fuente para patear la teoría de conjuntos).
Si en algún momento llegamos a la conclusión de que no podemos rescatar a una gran cantidad razonable de pruebas (por ejemplo, en algunas interior del modelo de la teoría, obligando, etc.) entonces es posible que ZFC se acaba de caer y una nueva base será buscado.
Por supuesto, es posible que sólo algo acerca de las grandes cardenales sería inconsistente y, a continuación, vamos a ser capaces de dibujar un montón de conclusiones sobre el universo de los conjuntos (por ejemplo, todas las proposiciones que implican la consistencia de este cardenal sería inmediatamente falso. Si usted ha encontrado una contradicción en un cardinal medible, entonces usted puede probar que la EA es incompatible con ZF). Pero que aún está muy lejos de mostrar que ZFC sí es incoherente.
Matt Dawdy
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Personalmente, soy un fan de ETCS. Véase, por ejemplo, Todd Trimble entrada en el blog sobre el tema.
Studer
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Tenga en cuenta que una incoherencia implica que cualquier teorema y su negación puede ser probada. El hecho de que tal cosa no ha sucedido (nadie ha demostrado que la negación de un teorema en la corriente principal de las matemáticas) significa que dondequiera que ZFC falla algunos más restringido conjunto de axiomas puede ser encontrado en el cual la mayoría de matemáticas todavía se puede hacer.
Para ver un ejemplo de lo que podría suceder que usted tiene que mirar más allá de la Paradoja de Russell. Se muestra que la ingenua teoría de conjuntos no tiene sentido, pero el ejemplo si lejos de los conjuntos regulares (con "elementos reales") que a todos nos suele utilizar.
