Demostrando que $\lim_{x\to1^-}\left(\sqrt[a]{1-x}\cdot\sum_{n=0}^\infty~x^{n^a}\right)=\Gamma\left(1+\frac1a\right)$

Question

¿Cómo podríamos demostrar que $$\lim_{x\to1^-}~\bigg(\sqrt[a]{1-x}\cdot\sum_{n=0}^\infty~x^{n^a}\bigg)~=~\Gamma\bigg(1+\frac1a\bigg)$$ para $a>0$ ?

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La inspiración me llegó mientras trataba de encontrar una solución a esta pregunta relacionada que trata el

caso especial $a=2$ . Estoy bastante seguro de que la mejor manera de enfocar esto es mediante algún tipo de

manipulación de las identidades conocidas $~\displaystyle\int_0^\infty e^{-t^a}~dt~=~\Gamma\bigg(1+\frac1a\bigg)~$ y $~e^u~=~\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{u^n}{n!}~,$

pero lamentablemente no he podido hasta ahora capitalizar mi propia idea. También intenté escribir

x como $1-\epsilon$ y, a continuación, ampliando $(1-\epsilon)^{n^a}$ en su serie binomial, pero este esfuerzo también ha sido

demostrado ser inútil, o, al menos, lo parece en mis manos. Que es donde tú, querido

lector, ¡adelante! ¿Puedes ayudarme a salir de mi estancamiento? ¡Cualquier idea o sugerencia es bienvenida!

Answer 1

Utilice este conocido : Deja que $f(x)$ función monótona sobre $x\ge 0$ y esta integral $\int_{0}^{+\infty}f(x)dx$ exsit.entonces tenemos $$\lim_{h\to 0^{+}}h[f(h)+f(2h)+\cdots]=\int_{0}^{\infty}f(x)dx$$

entonces deja que $x=e^{-h^a}$ entonces \begin{align*}\lim_{x\to 1^{-}}\sqrt[a]{1-x}(1+x^{1^a}+x^{2^a}+\cdots+x^{n^a}+\cdots)&= \lim_{h\to 0^{+}}\dfrac{\sqrt[a]{1-e^{-h^a}}}{h}\cdot h(1+e^{-h^a}+e^{-(2h)^a}+\cdots)\\ &=\int_{0}^{+\infty}e^{-t^a}dt \end{align*}