Lo que la clasificación de los contables ordinales por encima de la Iglesia–Kleene ordinal $\omega_1^{CK}$ existe?
Hay cosas tales como $\omega_2^{CK}$, $\omega_{\omega_\omega^{CK}}^{CK}$ o $\omega_{\omega_{\omega_{._{._.}}^{CK}}^{CK}}^{CK}$ (un punto fijo de $\alpha\mapsto\omega_\alpha^{CK}$)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para cualquier real $x$, el ordinal $\omega_1^{CK}(x)$ está bien definido, siendo el primer ordinal $\alpha$ mayor que $\omega$ tal que $L_\alpha[x]$ es un modelo de la teoría de la $\mathsf{KP}$.
Los ordinales $\alpha$ tal que $L_\alpha\models\mathsf{KP}$ son admisibles los números ordinales, y admisibilidad es a la baja absoluta, lo que significa que si $L_\alpha[x]\models\mathsf{KP}$, $\alpha$ es admisible, ver aquí. Lo contrario también es cierto, en el sentido de que si $\alpha$ es contable, y $L_\alpha\models\mathsf{KP}$, entonces no es un verdadero $x$ tal que $\alpha=\omega_1^{CK}(x)$ (y esto puede ser adecuadamente generalizado para incluir innumerables ordinales).
Yo nunca he visto la anotación que sugieren, pero sería razonable para el uso $(\omega_\alpha^{CK}\mid\alpha\in\mathsf{ORD})$ como el aumento de la enumeración de los admisible ordinales (dejando $\omega_0^{CK}=\omega$, si uno insiste). Por supuesto, una vez que tenemos esto, entonces los puntos fijos, etc, tienen sentido.
Admisible ordinales han sido ampliamente estudiados. Un muy buen resultado debido a Jensen es que, dado cualquier aumento de la secuencia de conteo admisible ordinales, hay una real $x$ tales que los números ordinales son los primeros a $\omega$ ordinales admisible sobre $x$, es decir, la primera $\omega$ valores de $\alpha$ tal que $L_\alpha[x]\models\mathsf{KP}$. Esto se logra mediante el uso cuidadoso de la clase forzar, ver Admisible establece en Jensen página, aquí. Este resultado ha sido ampliamente generalizada y, en particular, por Sy Friedman.
Si hay otro tipo de "clasificación" es posible, pero yo no soy consciente de uno. Por ejemplo, uno puede razonablemente quieren estudiar los ordinales $\alpha$ tal que $L_\alpha\prec L_{\omega_1}$, pero todos estos números ordinales son admisibles. Así son todos los números ordinales que son la altura de un modelo transitivo de la teoría de conjuntos, o los ordinales que forman el bien fundada (ordinal) parte de un mal fundada $\omega$-modelo de la teoría de conjuntos. Todos estos son ciertamente interesante subclases de la admisibles los números ordinales, que merecen su propio tratamiento, como son los ordinales que corresponden a la altura de los modelos de $\Sigma_n$-$\mathsf{KP}$, ver aquí para algunas propiedades.
El estudio de la "computabilidad" sobre la admisión de un ordinal es el tema de lo que se llama más la teoría de la recursividad o alfa de la teoría de la recursividad, un tema que hace que un puro juego de clásicos de la computabilidad y la teoría de conjuntos. Una buena introducción es de los Sacos del libro.
