Si $\sum\frac1{a_n}$ es convergente, entonces irracional?

Question

$\{a_n\}$ es estrictamente creciente secuencia de enteros positivos tales que $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{ a_n}=1$$ Si $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{a_n}$ es convergente, se puede concluir que $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{a_n}$ es un número irracional? un trascendental número?

Un caso especial es $\zeta(n)(n\geq2)$. entonces, la pregunta, si es cierto, puede ser difícil.

¿A alguien le sugieren un contra-ejemplo? Muchas gracias!

Answer 1

Tome $a_n = n(n+1)$. Entonces

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n} = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1.$$

Answer 2

Definir $a_n=n(n+1)$. Entonces $$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty} \frac{n^2+3n+2}{n^2+n}=1$$

Y $$\sum_{n=1}^\infty\frac1{a_n}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac 1k-\frac1{k+1}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac 1{n+1}\right)=1\in\Bbb Q$$

Answer 3

Cualquier ejemplo de como $\frac{1}{a_n}=\frac{1}{(n+1) \cdots (n+k)}$ $k\geq 2$ rendimientos fijos telescópico de la serie cuya suma es un número racional.

Incluso si $a_n\geq \lambda^n$ $\lambda>1$ uno puede obtener un número racional como un límite de una serie geométrica del tipo $a_n=m^n$ va a hacer).

Demostrando que una serie converge a un número irracional

En los casos señalados en el post anterior, aproximaciones racionales para el límite son demasiado dios, y este no es el caso cuando el número que se aproxima es racional.

Lo que es más difícil es demostrar la irracionalidad de ejemplos como los que se plantean. Por ejemplo, se sabe que $\zeta(3)$ es racional (Apéry), y que $\zeta(2n)$ son potencias de $\pi$ veces un número racional, pero en general, sólo resultados parciales son conocidos (ver un ejemplo, el Teorema de 0.2, p2):

http://wain.mi.ras.ru/PS/zete_main.pdf