Aquí están mis soluciones de cuando estudié con Ken Brown como estudiante:
V.3.5: A partir de la representación del producto semidirecto $S_3=\mathbb{Z}_3\rtimes \mathbb{Z}_2$ donde $\mathbb{Z}_2$ actúa sobre $\mathbb{Z}_3$ por conjugación, $H^*(S_3)=H^*(S_3)_{(2)}\oplus H^*(S_3)_{(3)}\cong H^*(S_3)_{(2)}\oplus H^*(\mathbb{Z}_3)^{\mathbb{Z}_2}$ por el Teorema III.10.3, con $H^*(S_3)_{(2)}$ es isomorfo al conjunto de $S_3$ -elementos invariantes de $H^*(\mathbb{Z}_2)$ . El ejercicio III.10.1 demostró que $H^*(S_3)_{(2)}\cong \mathbb{Z}_2$ por lo que basta con calcular $H^*(\mathbb{Z}_3)^{\mathbb{Z}_2}$ donde sabemos que $\mathbb{Z}_2$ actúa por conjugación en $\mathbb{Z}_3$ ( $1\mapsto 1$ , $x\mapsto x^2$ , $x^2\mapsto x$ ). Pero esta acción puede considerarse como el endomorfismo $\alpha(2)$ del ejercicio V.3.4 ya que $(1)^2=1$ y $(x)^2=x^2$ y $(x^2)^2=x^4=x$ y ese ejercicio implica que el mapa inducido en el $(2i)^{th}$ -La cohomología es la multiplicación por $2^i$ [sabemos que la cohomología es trivial en dimensiones Impares]. Ahora $2^1\equiv 2\,\text{mod}3$ y $2^2\equiv 1\,\text{mod}3$ Así que multiplicando ambas afirmaciones por $2$ En repetidas ocasiones vemos que $2^i\equiv 1\,\text{mod}3$ para $i$ incluso y $2^i\equiv 2\,\text{mod}3$ para $i$ impar. Así, el mayor $\mathbb{Z}_2$ -submódulo de $H^{2i}(\mathbb{Z}_3)\cong\mathbb{Z}_3$ en el que $\mathbb{Z}_2$ actúa trivialmente es $\mathbb{Z}_3$ (sí mismo) para $i$ incluso, y es $0$ para $i$ impar. Ahora se deduce que la cohomología integral $H^*(S_3)$ es la misma que se dedujo en el ejercicio III.10.1, es decir, es $\mathbb{Z}_2$ en el $2\,\text{mod}4$ dimensiones y es $\mathbb{Z}_6$ en la parte no nula $0\,\text{mod}4$ dimensiones y es $0$ por otra parte (además de la $0^{th}$ -dimensión en la que se encuentra $\mathbb{Z}$ ).
III.10.1: A partir de la representación del producto semidirecto $S_3=\mathbb{Z}_3\rtimes \mathbb{Z}_2$ donde $\mathbb{Z}_2$ actúa sobre $\mathbb{Z}_3$ por conjugación, $H^*(S_3)=H^*(S_3)_{(2)}\oplus H^*(S_3)_{(3)}\cong H^*(S_3)_{(2)}\oplus H^*(\mathbb{Z}_3)^{\mathbb{Z}_2}$ por el Teorema III.10.3. Ahora $S_3$ es el único grupo no abeliano de orden 6, por lo que $D_6\cong S_3$ y podemos utilizar un resultado (dado a continuación como "ejercicio adicional") que implica que el $\mathbb{Z}_2$ -acción sobre $H_{2i-1}(\mathbb{Z}_3)\cong H^{2i}(\mathbb{Z}_3)$ es la multiplicación por $(-1)^i$ . Así, $H^n(\mathbb{Z}_3)^{\mathbb{Z}_2}$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_3$ para $n=2i$ donde $i$ es par, y es trivial para $n$ impar y $n = 2i$ donde $i$ es impar. Tomando cualquier Sylow $2$ -subgrupo $H\cong \mathbb{Z}_2$ El teorema III.10.3 establece que $H^*(S_3)_{(2)}$ es isomorfo al conjunto de $S_3$ -elementos invariantes de $H^*(H)$ . En particular, tenemos el monomorfismo $H^{2i-1}(S_3)_{(2)}\hookrightarrow H^{2i-1}(H)=0$ Así que $H^{2i-1}(S_3)_{(2)}=0$ . Un $S_3$ -elemento invariable $z\in H^{2i}(H)\cong\mathbb{Z}_2$ debe satisfacer la ecuación $\text{res}^H_Kz=\text{res}^{gHg^{-1}}_Kgz$ , donde $K$ denota $H\cap gHg^{-1}$ . Si $g\in H$ entonces $gHg^{-1}=H$ y la condición anterior se cumple trivialmente para todo $z$ ( $hz=z$ por la Proposición III.8.1). Si $g\notin H$ entonces $K=\lbrace 1\rbrace$ porque $H$ no es normal en $S_3$ y sólo contiene dos elementos, por lo que la intersección sólo debe contener el elemento trivial. Pero entonces la imagen de ambos mapas de restricción es cero, por lo que la condición se cumple para todo $z$ por lo tanto $H^{2i}(S_3)_{(2)}=\mathbb{Z}_2$ . Alternativamente, un teorema de Richard Swan afirma que si $G$ es un grupo finito tal que $\text{Syl}_p(G)$ es abeliano y $M$ es un trivial $G$ -módulo, entonces $\text{Im}(\text{res}^G_{\text{Syl}_p(G)})=H^*(\text{Syl}_p(G),M)^{N_G(\text{Syl}_p(G))}$ . Es un hecho que $N_{S_3}(\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2$ Así pues, tomando $G=S_3$ y $H=\text{Syl}_2(S_3)\cong\mathbb{Z}_2$ y $M=\mathbb{Z}$ tenemos $\text{Im}(\text{res}^{S_3}_H)=(\mathbb{Z}_2)^{\mathbb{Z}_2}=\mathbb{Z}_2$ en el caso de las dimensiones pares. Como cualquier invariante está en la imagen del mapa de restricción anterior (por el Teorema III.10.3), el resultado $H^{2i}(S_3)_{(2)}=\mathbb{Z}_2$ sigue.
Ejercicio adicional : El grupo cíclico $C_m$ es un subgrupo normal del grupo diédrico $D_m=C_m\rtimes C_2$ (de simetrías de los regulares $m$ -gon). Hay un $C_2$ -acción sobre $C_m=\langle \sigma\rangle$ dado por $\sigma\mapsto \sigma^{-1}$ . Determinar la acción de $C_2$ en la homología $H_{2i-1}(C_m,\mathbb{Z})$ , observando que hay un elemento $g\in D_m$ tal que $g\sigma g^{-1}=\sigma^{-1}$ .
Solución: Dejar $c(g):C_m\rightarrow C_m$ ser conjugado por $g$ podemos aplicar el Corolario III.8.2 para obtener la acción inducida de $D_m/C_m\cong C_2$ en $H_*(C_m,\mathbb{Z})$ dado por $z\mapsto c(g)_*z$ . Basta con calcular $c(g)_*$ en el nivel de la cadena, utilizando la resolución periódica libre $P$ de $C_m$ y utilizando la acción trivial sobre $\mathbb{Z}$ . Utilizando la condición $\tau(hx)=[c(g)](h)\tau(x)=h^{-1}\tau(x)$ en el mapa de la cadena $\tau:P\rightarrow P$ (para $h\in C_m$ ), afirmamos que $\tau_{2i-1}(x)=\tau_{2i}(x)=(-1)^i\sigma^{m-i}x$ para $i\in\mathbb{N}$ y $\tau_0(x)=x$ . Suponiendo que esta afirmación se cumpla, el mapa en cadena $P\otimes_{C_m}\mathbb{Z}\rightarrow P\otimes_{C_m}\mathbb{Z}$ [en dimensiones Impares] viene dada por $x\otimes y\mapsto (-1)^i\sigma^{m-i}x\otimes gy=(-1)^i\sigma^{m-i}x\otimes y=(-1)^ix\otimes \sigma^{i-m}y=(-1)^ix\otimes y$ y así $c(g)_*$ [de ahí el $C_2$ -acción] es la multiplicación por $(-1)^i$ en $H_{2i-1}(C_m,\mathbb{Z})$ . Basta con probar la afirmación. Viendo que $N\tau_{2i}(1)=\tau_{2i-1}(N)=N\tau_{2i-1}(1)$ donde $N$ es el elemento normativo, podemos limitar nuestra atención a $\tau_{2i-1}$ y utilizar la inducción en $i$ desde $(\sigma-1)\tau_1(1)=(\sigma-1)(-\sigma^{m-1})=\sigma^{m-1}-1=\sigma^{-1}-1=\tau_0(\sigma-1)$ . Este mapa en cadena debe satisfacer la conmutatividad $(\sigma-1)\tau_{2i-1}(1)=\tau_{2(i-1)}(\sigma-1)$ y esto es así porque $(\sigma-1)\tau_{2i-1}(1)=(-1)^i(\sigma^{m-i+1}-\sigma^{m-i})$ y $\tau_{2(i-1)}(\sigma-1)=(\sigma^{-1}-1)(-1)^{i-1}\sigma^{m-i+1}=(-1)^i(\sigma^{m-i+1}-\sigma^{m-i})$ .
Recapitulación: $H^n(S_3)\cong$
$\mathbb{Z}$ para $n=0$ ,
$\mathbb{Z}_6$ para $n\equiv 0\;\text{mod}\,4$ con $n\ne 0$ ,
$\mathbb{Z}_2$ para $n\equiv 2\;\text{mod}\,4$ ,
$0$ De lo contrario,
