Riemann Zeta función de número de ceros

Question

Quiero escribir un programa que calcule el número de ceros (no es necesario identificarlos, solo el número de ellos) entre 0 y x para la Riemann Zeta función, siendo x la parte imaginaria de z: 1/2 + ix

Hay un algoritmo que hay para hacer lo que necesito?

Yo modelado de la de Riemann-siegel función porque vi que lo necesito para hacer lo que quiero, pero no sé cómo seguir.

Lo siento por mi pobre inglés :/

Answer 1

Se pueden apreciar los siguientes '$\zeta$ ceros en la función de recuento de' si $t$ es la parte imaginaria : $$f(t) = \frac{1}{\pi} \Im\left(\ln(\Gamma\left(\frac 14 + \frac{i\,t}2\right)\right) - \frac{t}{2\pi}\ln(\pi) + \frac{1}{\pi} \Im\left(\ln\left(\zeta\left(\frac 12 + i\,t\right)\right)\right) + 1$$ Explicación : si multiplicamos esto por $\pi$ observamos que el primer término imaginario combinado para el próximo mandato devuelve el argumento real de $\zeta$ (este es el bien conocido de Riemann–Siegel theta función) que crece con alta regularidad, mientras que el término imaginario a la derecha le da el argumento de $\zeta$ modulo $2\pi$, con lo cual el cambio de signo para cada múltiplo de $\pi$ (que es en cada cero de $\zeta$ !).

Más acerca de la forma en que esta fórmula se obtuvo aquí.

Ilustración con el pari/gp código al final (zoom) :

El primer paso es entre el$14.1$$14.2$, el segundo entre los $21$ $21.1$ y así sucesivamente, de manera que realmente estamos contando los ceros de $\zeta$...

La imagen no es siempre tan agradable y, de vez en cuando (a partir $t=415$ creo), no va a ser un no-propagación de error de $\,\pm 2\,$ al $\,\displaystyle\frac 1{\pi}\rm{Arg}\;\zeta(1/2+it)\;$ cruza el límite superior $+1$ o límite inferior $-1$ (así que esta vez aparece cuando dos ceros consecutivos son distantes, es decir, para grandes bucles como se muestra en la otra respuesta).

Esta fórmula fue en este MO hilo con más referencias a Guinand del artículo : 'la suma de la fórmula en la teoría de los números primos'.

pari/gp código utilizado para la imagen :

f(t)=imag(lngamma(1/4+I*t/2))/Pi-t/(2*Pi)*log(Pi)+imag(log(zeta(1/2+I*t)))/Pi+1

Answer 2

Echa un vistazo a Andrew Odlyzko del trabajo.Su página principal es:

http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/zeta.html

Aquí hay una tabla de ceros:

http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/

Echa un vistazo a este papel de algoritmos:

http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/zeta.fn.supercomp.pdf

Y para los grandes ceros, esta:

http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/zeta.10to22.pdf

Answer 3

Suponiendo que significa que el número n de raíces $\rho$ cuyo imaginario partes se encuentran entre 0 y T, la conjetura de Riemann y von Mangoldt comprobado que el número es

$$n \approx\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi} -\frac{T}{2\pi} $$ with relative error of $O(\log T).$

No hay duda de mejores estimaciones, pero esta es una regla-de-pulgar.