¿Por qué habría de Klein-Gordon describir spin-0 escalares del campo, mientras que la de Dirac describir spin-1/2?

Question

La derivación de Klein-Gordon ecuación y la ecuación de Dirac es debido a la necesidad de la mecánica cuántica (o más correctamente, la teoría cuántica de campos) se adhiera a la teoría especial de la relatividad. Sin embargo, excpet que Klein-Gordon ha probabilidad negativos problema, yo no veo diferencia entre estos dos. Lo que hace de Klein-Gordon describir escalares del campo, mientras que la de Dirac describir spin-1/2 campo? Edit: uy. De Klein-Gordon no tiene la no-localidad problema. Lo siento por escribir mal.

Edit: ¿alguien Puede decirme en detalle el por $\psi$ campo escalar de Klein-Gordon, mientras que $\psi$ en Dirac es spin-1/2? Quiero decir, si la solución para Dirac es la solución de Klein-Gordon, ¿cómo funciona este sentido?

Answer 1

El espín es una propiedad de la representación de la rotación de grupo $SO(3)$ que describe cómo un campo transforma bajo una rotación. Esto puede ser elaborado para cada tipo de campo o en el campo de la ecuación.

El de Klein-Gordon campo da una vuelta 0 representación, mientras que la ecuación de Dirac da dos spin 1/2 representaciones (que combinar en una única representación si también cuentas para las simetrías).

Los componentes de cada campo libre satistfy la de Klein-Gordon ecuación, independientemente de su giro. En particular, cada uno de los componentes de las ecuaciones de Dirac resuelve el de Klein-Gordon ecuación. De hecho, el de Klein-Gordon ecuación sólo expresa la masa de shell de restricción y nada más. Spin viene cuando uno mira lo que sucede a los componentes.

Una rotación (y, más generalmente, una transformación de Lorentz) mezclas de los componentes del campo de Dirac (o cualquier otro campo no se compone de spin 0 sólo campos), mientras que en un $k$-componente de spin 0 campo, se va a transformar cada componente por separado.

En general, una transformación de Lorentz dado como un $4\times 4$ matriz $\Lambda$ cambios $k$-componente de campo $F(x)$ a $F_\Lambda(\Lambda x)$ donde $F_\Lambda=D(\Lambda)F$ $k\times k$ matriz $D(\Lambda)$ que depende de la representación. Los componentes son spin 0 campos si y sólo si $D(\Lambda)$ es siempre la identidad.

Answer 2

Vamos a revisar cómo el KG ecuación se recupera de la Dirac: (en unidades naturales donde $\hbar=c_0=1)$

$$(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\Psi = 0$$ $$(-i \gamma^\mu \partial_\mu - m)(i \gamma^\mu \partial_\mu - m) = 0$$ $$(\gamma^\nu \gamma^\mu \partial_\nu \partial_\mu + m^2) \Psi = 0$$ $$(\partial^2+m^2)\Psi = 0.$$

En orden para que podamos recuperar KG, hemos tenido que asumir $\gamma^\nu \gamma^\mu = \eta^{\mu\nu}$. En otras palabras, usted puede pensar de gamma de como hacer el producto escalar de delta. Para tomar un pésimo ejemplo, es como si hubiéramos tenido una ecuación que describe una velocidad "spinor" y, a continuación, cuadrado, por lo que ahora se describe la velocidad de "escalar", que tiene un menor grado de libertad. Esto no explica mucho más que cómo una ecuación que describe un spinor puede reducir a una ecuación que describe un escalar.

La razón por la ecuación de Dirac requiere spinors y no escalares es debido a la relatividad especial. Si no fuera por los molestos signo menos en $\eta^{\mu\nu}$, el álgebra de la gamma sería mucho más simple y que no nos necesitan para ser 4x4 matrices. A continuación, $\Psi$ podría describir un campo escalar.

Answer 3

Si decimos:

"Un campo tiene un espín 0, espín 1/2 o giro de la 1 de la representación"

entonces tenemos en el hecho de decir algo acerca de cómo el campo de parámetros de transformación si vamos de un marco de referencia a otro.

spin 0: Los valores del campo no cambiar si queremos ir de un marco de referencia a otro

spin 1: Tenemos que aplicar la transformación de Lorentz de la matriz $\Lambda$ en los parámetros de campo.

espín 1/2: Tenemos que aplicar $\Lambda^{1/2}$ en los parámetros de campo.

Nota: El uso de una expresión como $\Lambda^{1/2}$ debe ser interpretado de una forma un tanto simbólico manera debido a que los vectores y bispinors son diferentes de los objetos. Hay un factor adicional de 1/2 a pesar de que en el exponente de la $\Lambda^{1/2}$ matriz.

El "spin" (asociada con la rotación) recibe debido a la transformación de la matriz $\Lambda$ maneja tanto aumenta así como las rotaciones. La peculiar factor de 1/2 sin embargo surge también en el 1 dimensiones de la versión de la ecuación de Dirac, donde no hay tal cosa como un spin (o rotación) y la correspondiente 1 + espacio 1 dimensión de tiempo de la versión de $\Lambda$ sólo describe aumenta.

La razón más profunda para el factor 1/2 es que la ecuación de Dirac relaciona dos componentes de campo $\psi_R$ $\psi_L$ que son iguales el uno al otro en el marco del resto. 1 en el caso de que estas dimensiones son el derechode movimiento y a la izquierda-mover los componentes. La relación de los dos se transforma de la siguiente manera

$(\psi_R:\psi_L)\longrightarrow\Lambda~(\psi_R:\psi_L)$

En la normalización de la onda plana eigen funciones de este, a continuación, termina igual

$\psi_R\longrightarrow\Lambda^{+1/2}\psi_R$

$\psi_L\longrightarrow\Lambda^{-1/2}\psi_L$

Si ahora vamos de nuevo a las 3 dimensiones espaciales, a continuación, $\Lambda$ incluye tanto aumenta y rotaciones y el factor 1/2 como un exponente de la rotación de la generación de matrices lleva dos lo que llamamos partículas de espín 1/2.

Hans.

Answer 4

Spin es parte de lo que un campo ES. Los datos de dos campos de diferentes giros son muy diferentes. El KG ecuación que no tiene sentido para un spin 1/2 campo y de igual forma para la ecuación de Dirac y de espín 0 campos.