Mi pregunta es un poco impreciso, pero espero que te guste. Incluso yo firmemente creo que tiene una respuesta apropiada.
El coeficiente binomial $\binom{\frac{1}{2}}{n}$ está fuertemente relacionada con los números de catalán - la expresión de $(1-4x)^{\frac{1}{2}}$ aparece cuando el cálculo de la generación de la función de la agencia catalana de números y resolver una ecuación cuadrática.
Estoy tratando de encontrar a algunos de combinatoria interpretación de $\binom{\frac{1}{k}}{n}$ por entero distinto de cero $k$. Creo que debe existir - no sé si por intuición o porque he visto algo similar y se olvidó. Quiero una elemental interpretación, tal vez relacionada con los árboles (desde catalán números de conteo de árboles binarios).
Así que, ¿alguien puede encontrar una combinatoria de la interpretación de los coeficientes (a veces multiplicado por algún poder como $k^n$)?
Mi motivación: puedo mostrar p-adically que $\binom{\frac{1}{k}}{n}$ $p$integral para cualquier prime $p$ no dividiendo $k$. Estoy buscando una combinatoria prueba de esta propiedad, y de una combinatoria interpretación de $k^m \binom{\frac{1}{k}}{n}$ (para algunos entero $m$) será suficiente para esto.
