Cuando es un monic entero polinomio el polinomio característico de un entero no negativo de la matriz?

Question

Supongamos que $P(x)$ es un monic entero polinomio con raíces $r_1, ... r_n$ tales que $p_k = r_1^k + ... + r_n^k$ es un número entero no negativo para todos los enteros positivos de $k$. Es de $P(x)$, necesariamente, el polinomio característico de un entero no negativo de la matriz?

(La motivación aquí es que quiero $r_1, ... r_n$ que los autovalores de una dirigidos multigraph.)

Edit: Si esa condición no es lo suficientemente fuerte, como sobre la condición adicional de que $$\frac{1}{n} \sum_{d | n} \mu(d) p_{n/d}$$

es un entero no negativo para todos los d?

Answer 1

Esta pregunta es completamente respondió, y el resultado es que la condición que implica la Moebius inversión de mencionar que es a la vez necesaria y suficiente! Ver K. H. Kim, N. Ormes, F. Roush. Los espectros de número entero no negativo a través de matrices de poder formal de la serie. J. Amer. De matemáticas. Soc. 13 (2000),773--806. Esto es realmente notable y hermoso teorema.

Answer 2

Esta es una pregunta interesante! Parece que el correspondiente problema, incluso con "entero" se sustituye por "real" es duro (ver http://www.jstor.org/pss/20490189Inverso autovalor problemas para matrices, T. Laffey), es decir, hay "más allá" de las desigualdades satisfecho por los autovalores de la no-negativo real de las matrices. No sé qué complejidad extra es inducida por pasar a números enteros, pero me imagino que debe ser muy duro para dar condiciones exactas.

Answer 3

Puedo ofrecer un contraejemplo, a partir de aquí .

Si P=x^7-8x^5+19x^3-12x+1 el polinomio característico de una matriz que corresponde a una gráfica, entonces sería el char.poli de una matriz que corresponde a un cargo firmado gráfico (simétrica, todas las entradas 0,1 o -1). Para tales matrices se define el asociado recíproca polinomio a (z^d)X(z+1/z), donde X es el polinomio característico y d su grado. En este caso, el asociado polinomio recíproco sería z^14-z^12+z^7-z^2+1. Para cualquier entero polinomio podemos encontrar una mahler medida, y la mahler medida de este polinomio es 1.20261... sin Embargo, Smyth y McKee determina la Mahler mide menos de 1.3 que surgen de asociados recíproca de los polinomios de carga firmado gráficos, y esta cantidad no es alcanzado.

Entonces, P no puede ser el polinomio característico de un cargo firmado gráfico, de que los gráficos son un caso especial. Tiene P satisfacer su no-negatividad de las condiciones en las raíces? Las sumas de impares poderes parecen ser cero.

Answer 4

Esto es cierto para polinomios cuadráticos con término constante +1. Cualquier polinomio es el determinante de una matriz en la SL₂ ℤ (por ejemplo, con el compañero de la matriz, como se indica por Ben Webster). Es bien conocido que cualquier matriz es conjugado a un múltiplo de productos de [[1,1],[0,1]] y [[1,0],[1,1]] (superior e inferior triangular unipotentes matrices). No estoy seguro de que la referencia original para este hecho, pero es una referencia Proposición 2.1 de este documento.

Creo que tu criterio implica que la máxima de la raíz del polinomio es un Perron número. Si es así, entonces Lind ha demostrado que cada Perron número se presenta como el radio espectral de una no-negativo integral de Perron-Frobenius de la matriz (y por lo tanto el radio espectral de una recurrente dígrafo). Esto sólo implica que el polinomio se divide el polinomio característico de la matriz puede haber otros factores.

Añade comentario: El general cuadrática caso, podría ser posible hacer uso de Markov particiones de la inducida por el mapa de un toro.

Me olvidé de la cyclotomic caso, lo que puede ocurrir si la matriz no es Perron-Frobenius. Si el polinomio es irreducible, creo que la condición implica que la máxima norma raíces son complejas Perron números (o cyclotomic). Estos cultivos en el trabajo de Kenyon en la auto-similar apuntados (MR1392326 (97 undecies:52025) ).

Answer 5

Bien, permítanme decir lo que sabemos hasta el momento.

Para monic polinomios cuadráticos es necesario y suficiente que ambas raíces del ser real y ser positivo con valor absoluto, al menos la otra. Esto no requiere ningún argumento complicado: el polinomio característico de [a b] [c, d] es x^2 - (a + d)x + (ad - bc). Desde a, d ≥ 0, es necesario que en una raíz real positiva de parte al menos tan grande como el valor absoluto de la parte real de la otra, y puesto que b, c ≥ 0, es necesario que (a + d)^2 ≥ 4ad ≥ 4(ad - bc). Esto es suficiente, ya que podemos establecer c = 1.

General de los polinomios, creo que es un teorema de Berstel implica que 1) el radio de convergencia de 1/x^n P(1/x) debe ocurrir como un resultado positivo verdadero polo r, y 2) cualquier otro polo s con |s| = r tiene la propiedad de que s/r es una raíz de la unidad. Por otro lado polinomios tales como el polinomio con raíces 5, 5, 3 + 4i, 3 - 4i no tienen esta propiedad aunque satisfagan la no negatividad de la condición.