¿Qué tiene de especial la característica 2?

Question

Estoy tratando de entender cómo se relacionan las formas bilineales y las formas cuadráticas sobre campos $F$ con $char(F) = 2$ y campos con $char(F) \neq 2$ .

Lo que deduzco hasta ahora es que si $char(F) \neq 2$ entonces existe una correspondencia uno a uno entre las formas cuadráticas y las formas bilineales, de modo que las teorías correspondientes son equivalentes. Sin embargo, si $char(F) = 2$ Aunque todavía es posible definir una forma bilineal en términos de una forma cuadrática, ya no es posible recuperar la forma cuadrática a partir de ella.

¿Es esta irreversibilidad lo que distingue el caso $char(F) = 2$ de $char(F) \neq 2$ ¿o hay una diferencia más fundamental de la que no soy consciente?

Answer 1

La afirmación correcta debería ser: cuando la característica $\neq2$ existe una correspondencia uno a uno entre las formas cuadráticas y simétrico formas bilineales. Podemos recuperar la forma bilineal simétrica a partir de una forma cuadrática como sigue: $$ b(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \frac12\left( q(\mathbf{x}+\mathbf{y}) - q(\mathbf{x}) - q(\mathbf{y}) \right). $$

Con la característica $2$ el factor $\frac12$ no existe. De hecho, si escribimos $b(\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{y}^TB\mathbf{x}$ entonces cualquier término cruzado en $b(\mathbf{x},\mathbf{x})$ debe desaparecer porque $b_{ij}x_ix_j+b_{ji}x_jx_i=2b_{ij}x_ix_j=0$ . Por lo tanto, $b(\mathbf{x},\mathbf{x})$ es necesariamente igual a $\sum_i b_{ii}x_i^2$ . En otras palabras, con la característica 2, ninguna forma bilineal simétrica puede inducir una forma cuadrática con términos cruzados no evanescentes .