Polinomios homogéneos irreducibles de grado arbitrario

Question

Supongamos que tenemos un campo algebraicamente cerrado $F$ y $n+1$ variables $X_0, \dots, X_n$, donde $n > 1$. ¿Existe un polinomio homogéneo irreducible en estas variables de grado $d$ para cualquier entero positivo $d > 1$? En otras palabras, ¿siempre existe una hipersuperficie irreducible de grado arbitrario?

Por supuesto, también estoy interesado en construcciones de estos polinomios.

Gracias.

Answer 1

Sí, esto es directo. Primero nota que un polinomio homogéneo $f(X_0, ... X_n)$ que no es divisible por $X_0$ es irreducible si y solo si $f(1, ... X_n)$ es irreducible, por lo que el problema se reduce a construir polinomios irreducibles en $k[x_1, ... x_n]$ de grado $d$. Para hacer esto, podemos tomar $x_1^2 - x_2 h(x_3, ... x_n)$ para cualquier polinomio $h$ de grado $d-1. (Si $n = 2$ entonces usa, por ejemplo, $x_1^2 - (x_2 + x_2^d)$. Lo importante es que lo que sea que venga después de $x_1^2$ no debe ser un cuadrado.)

Answer 2

Proposición: El polinomio de Fermat $f = X_0^d + \cdots + X_n^d$ es irreducible para $n\ge 2$ en característica cero.

Prueba: Por inducción en $n$ usando el criterio de Eisenstein (por ejemplo en Álgebra de Lang, Parte Uno, Teorema IV.3.1). Para $n=2$, vemos $X_0^d+X_1^d+X_2^d$ como un elemento de $k[X_1,X_2][X_0]$. Ahora, $X_1^d+X_2^d = (X_1-e_1 X_2)\cdots(X_1-e_d X_2)$, donde $e_1,\dots,e_d$ son las raíces del polinomio $\xi^d+1$. Dado que $k$ no es necesariamente cerrado algebraicamente, los $e_i$ generalmente estarán en la cerradura algebraica $\bar{k}$ de $k. Además, todos los $e_i$ son distintos. Esto implica que existe un factor $f \in k[\xi]$ del polinomio $\xi^d+1$ (posiblemente el propio polinomio), que es irreducible sobre $k$ y $\xi^d+1 \not\in (f^2)$. Ahora sea $\mathfrak{P}$ el ideal primo generado por $f$. Entonces $X_1^d+X_2^d \in \mathfrak{P}-\mathfrak{P}^2$ y por lo tanto el criterio de Eisenstein nos da que $X_0^d+X_1^d+X_2^d$ es irreducible. Luego, para $n >2$ vemos $X_0^d + X_1^d+\cdots+X_n^d$ como un elemento de $k[X_1,\dots,X_n][X_0]$. Por hipótesis de inducción $X_1^d+\cdots+X_n^d$ es irreducible y podemos tomar el ideal primo $\mathfrak{P}$ del criterio de Eisenstein como el ideal generado por $X_1^d+\cdots+X_n^d$.