La falta de comprensión de la prueba de la existencia de una irreductible polinomio de cualquier grado $n \geq 2$ $\mathbb{Z}_p[x]$

Question

En un curso optativo llamado "Finito Geometrías", que más recientemente se construyeron los campos de $$K_{p,n}[x] := \{\alpha \in K_p[x]\,| \deg(\alpha) < n\},$$ donde $K = \mathbb{Z}$, $p$ es el primer y $n \in \mathbb{N}$. Para ello, hemos definido la adición como de costumbre, mientras que para la multiplicación dejamos $\varphi \in K_p[x]$ ser un polinomio irreducible de $n$-ésimo grado y, a continuación, definen $$\alpha \odot \beta := \alpha \cdot \beta \text{ mod } \varphi.$$ Ahora, como no es obvio que para cada $n \in \mathbb{N}$ existe un polinomio irreducible, hemos demostrado que esta para $n \geq 2$ ($n=1$ el campo es simplemente $(K_p, +, \cdot)$) con un montón de que aún se desconoce herramientas.

Deje $F = \{\phi_1, \phi_2, ...\}$ ser una contables conjunto y para cada $i \in \mathbb{N}$ deje $m_i \in \mathbb{N}$ ser el llamado "índice" de $\phi_i$. Escribimos $m_i = \operatorname{ind}(\phi_i)$. Para todos los $m \in \mathbb{N}$, vamos a $|\{i: m_i = m\}| < \infty$. Entonces llamamos a $$\varphi(z) := \sum_{\phi_i \in F} z^{m_i}$$ el recuento de alimentación de la serie (este es el término correcto inglés?) de $F$. Obviamente, el coeficiente de $z^m$ $\varphi(z)$ es sólo $|\{i: m_i = m\}|$. Para dos conjuntos de $F_1 = \{\phi_1, ...\}$ $F_2 = \{\psi_1, ...\}$ con índices de $m_i$ $n_j$ y el conteo de alimentación de la serie $\varphi_1(z)$$\varphi_2(z)$, nos encontramos con que el recuento de alimentación de la serie para $F_1 \times F_2$ es simplemente $\varphi_1(z) \cdot \varphi_2(z)$ si dejamos que el índice de $(\phi_i, \psi_j)$$m_i + n_j$.

Ahora vamos a $F^{(n)}$ el conjunto de la normativa polinomios irreducibles de $n$-el grado en $K_p[x]$ y deje $f_n = |F^{(n)}|$. Escribimos $F^{(n)} = \{\phi_1^{(n)}, ..., \phi_{f_n}^{(n)}\}$ $\phi_j^{(n)} \in F^{(n)}$ deje $$F_j^{(n)} = \{1, \phi_j^{(n)}, \phi_j^{(n)} \cdot \phi_j^{(n)}, ...\}.$$ También, vamos a $\operatorname{ind}(\phi_j^{(n)}) = n$. A continuación, el recuento de alimentación de la serie de $F_j^{(n)}$ es $$\varphi_j^{(n)} = 1 + z^n + z^{2n} + ... = \frac{1}{1-z^n}.$$

Pregunta 1: ¿por Qué es $\operatorname{ind}(\phi_j^{(n)} \cdot \phi_j^{(n)}) = 2n$? Sólo hemos definido el índice de $\phi_j^{(n)}$ y no hemos definido que el índice de la función especial de las propiedades, así que ¿cómo puede uno obtener índices para todos los otros elementos de este conjunto?

A continuación se definen $$F := \{\phi \in F_1^{(1)} \times ... \times F_{f_1}^{(1)} \times F_1^{(2)} \times ... |\; \text{only finitely many factors of } \phi \text{ are} \neq 1\}.$$

Este conjunto es bijective para el conjunto de toda la normativa polinomios en $K_p[x]$.

Pregunta 2: ¿Qué significa si sólo un número finito de factores se $\neq 1$ y cómo es este conjunto bijective para el conjunto de toda la normativa polinomios en $K_p[x]$?

El recuento de alimentación de la serie de $F$ es el producto de la cuenta de potencia de la serie de sus factores, es decir, $$\varphi(z) = \prod_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{1-z^n} \right)^{f_n}.$$ En $K_p[x]$ hay $p^n$ normativa polinomios de $n$-ésimo grado, y por lo tanto también podemos escribir $$\varphi(z) = 1 + pz + p^2z^2 + ... = \frac{1}{1-pz}.$$

Pregunta 3: ¿Qué hace este balance tiene que ver con $F$, y el de alimentación de la serie?

Después de esto, el escritor logarítmicamente deriva ambas expresiones para $\varphi(z)$ y después de un par de transformaciones, llega a la $$\sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{d \mid n} d f_d\right) z^{n-1} = \sum_{n=1}^\infty p^n z^{n-1}$$ que puede ser resuelto mediante la Möbius-inversión. Luego, con el tiempo se han $$n f_n = p^n + ... + \mu(n) p = p^m ( p^{n-m} + ... \pm 1),$$ donde ambos factores no pueden ser $0$ y por lo tanto para todos los $n \in \mathbb{N}$ tenemos $f_n \neq 0$.

Pregunta 4: no entiendo este último paso. ¿Qué es $m$? ¿Por qué es el soporte de la $\neq 0$?

Gracias de antemano por ayudarme a entender esta prueba.

Answer 1

Q1: Su maestro a la izquierda el índice indefinido desde el principio, pero más tarde contexto revela que el índice de un monic polinomio es más probable que la intención de ser igual a su grado. S/él puede ser la planificación de la sobre el uso de similares funciones de generación más tarde, y dio una definición más general, para empezar.

T2: El contexto aquí es que en el ring $K_p[x]$ hemos única factorización. En otras palabras, cada monic polinomio $\phi(x)\in K_p[x]$ se puede escribir como un producto de potencias de irreductible monic polinomios $\phi_i(x)$ en una esencia única manera en la forma $$ \phi(x)=\prod_i \phi_i(x)^{n_i}. $$ Hay infinitamente muchos polinomios irreducibles $\phi_i(x)$ (Ha demostrado esto en clase? La prueba usual acerca de la infinitud del conjunto de los números primos obras para polinomios también!). Pero debido a que $\phi(x)$ tiene un número finito de grados, sólo un número finito de polinomios irreducibles $\phi_i(x)$ puede aparecer como factores de aquí. Por lo tanto, sólo un número finito de exponentes $m_i$ son no-cero. Comparar entero de la factorización de $n$: $$ n=\pm\prod_ip_i^{m_i}, $$ donde $p_i$ son todos números primos. También hay sólo un número finito de exponentes $m_i$ son no-cero. Es decir, aquellos donde el correspondiente prime $p_i$ es un factor de $n$.

Q3: Aquí podemos contar el número de monic polinomios de grado $n$ en dos maneras. Una forma es el camino directo: $n$ desconocido coeficientes, $p$ opciones para cada uno. La otra es utilizar la factorización de la Pregunta 2. El poder de la serie mantiene un seguimiento del grado del producto $\prod_i\phi_i(x)^{m_i}$. Se ve fácilmente que el grado de que es $\sum_i m_i\deg \phi_i(x)$. Fijemos un polinomio irreducible $\phi_j(x)$. La serie $\varphi_j(z)$ de la $F_j=\{\phi_j^n\mid n=0,1,\ldots\}$ es entonces $$ \varphi_j(z)=1+z^{m_j}+z^{2m_j}+z^{3m_j}+\cdots, $$ donde $m_j$ es el grado de $\phi_j(x)$. Aquí el término " $z^{km_j}$ corresponde a tener un factor de $\phi_j^k$. Además, $km_j$ es el grado de $\phi_j^k$, por lo que el polinomio $\phi(x)$ con la por encima de la factorización de la contribuirán a la consecución del plazo $z^{\deg f}$ como debería. Por ejemplo, si $p=3$, e $\phi(x)=(x+1)^3(x^2+1)$, el irreductible factores de $\phi_1(x)=x+1$ $\phi_2(x)=x^2+1$ aparecen. De la serie $$ \varphi_1(z)=1+z+z^2+\cdots $$ elegimos el término $z^3$, debido a $\phi_1$ apareció la tercera potencia en la factorización de $\phi$. De la serie $$ \varphi_2(z)=1+z^2+z^4+\cdots, $$ elegimos el término $z^2$, debido a $\phi_2$ era un simple factor. De todos los otros de la serie $\varphi_j(z)$ donde $j\neq1,2$ tomamos el término $1$, debido a $\phi_j$ no aparecen como un factor de $\phi(x)$. Multiplicando todos los de alimentación de la serie juntos conseguimos el término $z^3\cdot z^2=z^5$ a representar a $\phi$, que es justo lo que quería, debido a que el grado de $\phi$ es igual a cinco. Haga esto para todos los polinomios $\phi$, y se obtiene el resultado.

Compare esto con el producto de Euler de la $\zeta$la función de: $$ \zeta(s)=\sum_{n=1}\frac1{n^s}=\prod_{p\ \text{prime}}\frac1{1-p^{s}}. $$ Por ejemplo, cuando se $n=72=2^3\cdot3^2$, obtenemos el plazo $1/72^s$ desde el lado derecho de la siguiente manera. $$ \frac1{1-2^{s}}=1+2^{-s}+4^{-s}+8^{-s}+\cdots $$ tiene el término $1/8^s$. Del mismo modo la serie $$ \frac1{1-3^{s}}=1+3^{-s}+9^{-s}+27^{-s}+\cdots $$ tiene el término $1/9^s$. En el producto $$ \prod_{p\ \text{prime}}\frac1{1-p^{s}}=\prod_{p\ \text{prime}}(1+p^{-s}+p^{-2}+p^{3}+\cdots) $$ conseguimos que el término $72^{-s}$ si y sólo si se selecciona el factor de $8^{-s}$, cuando se $p=2$, el factor de $9^{-s}$, cuando se $p=3$, y el factor de $1$, cuando se $p>3$.

Aquí estamos haciendo algo similar: $$ \sum_{\phi\en K_p[x],\ \phi\ \text{monic}}z^{\gr \phi}=\prod_{\phi_j\ \text{monic irreductible}}\frac1{1-z^{\gr\phi_j}}. $$ Única factorización da tanto de estas centrales de la serie de identidades.

T4: Aquí $m$ es el más pequeño factor de $n$ tal que $\mu(n/m)\neq1$. Puede suceder que $m=1$, pero no sabemos con seguridad ($n$ no puede ser cuadrado-libre). El factor entre paréntesis es distinto de cero, porque es un alternando suma de los distintos poderes de $p$. El mayor poder, no puede ser cancelado por los más bajos.