¿Por qué necesitamos radianes en el cálculo?

Question

Creo que esto es algo a lo que me he acostumbrado pero no puedo recordar ninguna prueba.

Al diferenciar e integrar con las funciones trigonométricas, requerimos que los ángulos se tomen en radianes. ¿Por qué funciona entonces y sólo entonces?

Answer 1

Los radianes permiten relacionar una medida lineal y una medida angular medida de ángulo. Un círculo unitario es un círculo cuyo radio es una unidad. La unidad unidad es lo mismo que una unidad a lo largo de la circunferencia. Envuelve una recta numérica en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de un círculo unitario, empezando por el cero en (1, 0). La longitud del arco subtendido por el ángulo central se convierte en la medida del radián del ángulo.

Desde ¿Por qué los radianes? | Enseñanza del cálculo

Por lo tanto, estamos comparando entre sí la longitud de un radio y la longitud de un arco subtendido por un ángulo $L = R \cdot \theta$ donde $L$ es la longitud del arco, $R$ es el radio y $\theta$ es el ángulo medido en radianes.

Por supuesto, podríamos hacer el cálculo en grados, pero tendríamos que introducir incómodos factores de escala.

El grado no tiene relación directa con un círculo, sino que se eligió arbitrariamente como unidad para medir ángulos: Es de suponer que su $360^o$ porque 360 se divide muy bien entre muchos números.

Answer 2

Para explicitar las observaciones de los comentaristas, las funciones "trigonométricas en modo grados" $\cos^\circ$ y $\sin^\circ$ satisfacer las identidades incómodas $$ (\cos^\circ)' = -\frac{\pi}{180} \sin^\circ,\qquad (\sin^\circ)' = \frac{\pi}{180} \cos^\circ, $$ con todo lo que implica sobre cada fórmula que implique la derivada o antiderivada de una función trigonométrica (fórmulas de reducción de la integral de una potencia de una función trigonométrica, representaciones de series de potencias, etc., etc.).

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Añadido : En relación con el comentario de Yves Daoust, leo la pregunta "¿Por qué funciona [si los ángulos se toman en radianes] y sólo entonces?", como si preguntara "¿Por qué las fórmulas de derivación de $\sin$ y $\cos$ toman su forma familiar cuando (y sólo cuando) $\sin$ y $\cos$ son $2\pi$ -periódico (en lugar de $360$ -periódico)?" Si esta interpretación es correcta, y si se acepta que una vuelta completa de un círculo es tanto $360$ unidades de un tipo (grados) y $2\pi$ de otro (radianes), entonces las fórmulas anteriores son equivalentes a $\sin' = \cos$ y $\cos' = -\sin$ y (creo) hacer justificar "por qué" utilizamos el $2\pi$ -funciones periódicas $\cos$ y $\sin$ en el cálculo en lugar de $\cos^\circ$ y $\sin^\circ$ .

Por supuesto, es posible que naslundx estuviera preguntando "por qué" en un sentido más profundo, es decir, por definiciones precisas de "coseno y seno en modo radianes" y una prueba de que $\cos' = -\sin$ y $\sin' = \cos$ para estas funciones.

Para abordar esta posibilidad: En mi opinión, lo más conveniente es definir el coseno y el seno analíticamente (es decir, no para definirlos geométricamente), como soluciones de los problemas de valores iniciales de segundo orden \begin {align*} \cos '' + \cos &= 0 & \cos 0 &= 1 & \cos ' 0 = 0, \\ \sin '' + \sin &= 0 & \sin 0 &= 0 & \sin ' 0 = 1. \end {align*} (¡Por decir algo, no todo el mundo comparte esta opinión!) A partir de estas EDOs, es fácil establecer la caracterización: $$ y'' + y = 0,\quad y(0) = a,\ y'(0) = b\quad\text{iff}\quad y = a\cos + b\sin. $$ Uno se pone rápidamente $\cos' = -\sin$ y $\sin' = \cos$ las fórmulas de suma de ángulos, las representaciones en serie de potencias y la periodicidad (obteniendo un analítica definición de $\pi$ ). Después de esto, es trivial ver $\mathbf{x}(\theta) = (\cos \theta, \sin \theta)$ es una parametrización de la velocidad unitaria del círculo unitario (su velocidad $\mathbf{x}'(\theta) = (\sin\theta, -\cos\theta)$ es obviamente un vector unitario). En consecuencia, $\theta$ puede ser visto como definir una medida numérica de "ángulo" que coincide con la "longitud de arco a lo largo del círculo unitario", y $2\pi$ unidades de esta medida equivale a una vuelta completa.

Answer 3

Realmente se reduce al siguiente límite: $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$ O en otras palabras, " $\sin x \approx x$ para los pequeños $x$ ". En consecuencia, tenemos $$ \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x $$ Para cualquier otra elección de unidad angular, estas derivadas requieren algún tipo de coeficiente (como $\pi/180$ ). En este sentido, los radianes son la unidad "natural" de un ángulo, en lo que respecta al cálculo.

Answer 4

Supongamos que la fórmula $\sin'_r(x)=\cos_r(x)$ es verdadera para alguna unidad angular, dejemos que " $r$ ". Para otra unidad angular, dejemos que " $d$ ", existe un factor de conversión, a saber $\lambda_{d\rightarrow r}$ y podemos escribir:

$$\sin_d'(x)=\sin_r'(\lambda_{d\rightarrow r} x)=\lambda_{d\rightarrow r}\cos_r(\lambda_{d\rightarrow r} x)=\lambda_{d\rightarrow r}\cos_d(x).$$

Así que la fórmula de derivación sólo puede ser simple ( $\lambda=1$ ) para la unidad angular específica $r$ que utilizamos para llamar a radianes .

¿Pero cómo sabemos cuánto es un radián?

Utilizando $\sin_r'(x)=\cos_r(x)$ (y a su vez $\cos_r'(x)=-\sin_r(x)$ ) permite derivar varias expansiones en serie de Taylor-McLaurin, entre ellas la de la tangente del arco, y finalmente conduce a la Fórmula Gregory-Leibnitz . Esto define la constante $\pi$ y muestra que un octavo de vuelta (ángulo del triángulo rectángulo isósceles) es $\frac{\pi}{4}$ radianes, equivalente a 45 grados (por definición de los grados).

Al final, $\lambda_{d\rightarrow r}=\frac{\pi}{180}$ y $\sin_d'(x)=\frac{\pi}{180}\cos_d(x)$ .

Answer 5

Respuesta sencilla: el radián no es realmente una unidad, sino una ausencia de la misma. El grado, en cambio, sí lo es. Trabajar con cantidades dimensionales en el cálculo es lo último que querrías hacer (a no ser que te gusten las cosas pervertidas) :)