Propiedades de Adjoint functors

Question

Supongamos que $(F,G)$ es un adjunto par de covariante functors. He leído en un libro la siguiente declaración

"si el derecho adjoint conserva epimorphisms, luego la izquierda adjunto conserva projectives."

Puede alguien darme una pista de cómo comprobar esta afirmación?

Necesito el resultado, pero no quiero usarlo sin probarlo primero!

Gracias!

Answer 1

Como con todas las otras declaraciones de carácter general, sólo hay una posible prueba y usted puede escribir sólo por el desenrollado de las definiciones.

Deje $F : C \to D$ ser de izquierda adjunto a $G : D \to C$. Suponga que $G$ conserva epimorphisms. Deje $x \in C$ ser proyectiva. Queremos mostrar que $F(x) \in D$ es proyectiva. Esto significa que para todos los epimorphisms $y \to y'$ $D$ el mapa de $\hom(F(x),y) \to \hom(F(x),y')$ es surjective. Este mapa se identifica con $\hom(x,G(y)) \to \hom(x,G(y'))$, que es inducida por $G(y) \to G(y')$. Por supuesto, este morfismos es un epimorphism. Desde $x$ es proyectiva, la reivindicación de la siguiente manera.

Por cierto, la doble afirmación también es útil: Si $F$ que queda adjunto a $G$, e $F$ conserva monomorphisms, a continuación, $G$ conserva inyectiva objetos. Esto es útil, por ejemplo, en el contexto de la gavilla cohomology, donde se necesita que la restricción de un inyectiva gavilla a un subconjunto abierto todavía es inyectiva.