Calcular : $\int_1^{\infty} \frac{1}{x} -\sin^{-1} \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x $

Question

Encuentra: $\displaystyle \int_1^{\infty} \frac{1}{x} -\sin^{-1} \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x $.

He hecho algo de trabajo pero me he quedado atascado, puedes intentar ayudarme a continuar o darme otra forma de hacerlo, en ambos casos trata de darme solo pistas (no la solución completa), Gracias.

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Mi trabajo:

poniendo : $x^{-1}=t$, obtenemos : $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{t-\sin^{-1}t}{t^2}\ \mathrm{d}t$.

para $|t|\leq 1 $, tenemos : $\displaystyle \sin^{-1}t =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2k)!z^{2k+1}}{4^k (k!)^2(2k+1)}.$

con alguna simplificación :

$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{t-\sin^{-1}t}{t^2}\ \mathrm{d}t=-\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(2k-1)!}{4^k (k!)^2(2k+1)}$.

El primer problema es que no tengo idea de cómo demostrar la serie de Taylor (en forma general) para $\sin^{-1} t$ y parece bastante complicado, solo lo tengo en mi libro.

El segundo problema es que no sé cómo evaluar la última suma.

Espero que puedas tener una solución más fácil.

Answer 1

Pista 1:

No intentes usar la serie de Taylor aquí. Intenta dividir la integral en dos partes, así: $$ \int_1^\infty\frac{dx}{x} - \int_1^\infty\ \arcsin\frac{1}{x}dx. $$ Integrar el primer término debería ser fácil. Para el segundo, la sustitución que estabas intentando usar era correcta, pero intenta usar la integración por partes.

Si eso no es suficiente como pista,

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Pista 2:

Integrando por partes: Sea $f(u) = \arcsin(u), d(g(u)) = \frac {1} {u^2}$. $\int fdg = f(u)g(u)du-\int g(u) d(f(u))$. Esto nos da $\int_0^1\frac{1}{u\sqrt{1-u^2}}du-\frac {\arcsin u} {u} + \int_1^\infty \frac{1} {x}dx.$ La primera integral se puede simplificar mediante sustitución.

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Pista 3:

Sustituye $s=\sqrt{1-u^2}$, $ds = -\frac {u} {\sqrt{1-u^2}}du$. Esto hace que el primer término sea $\int \frac {ds}{s^2-1}$, el cual puedes integrar usando descomposición en fracciones parciales.

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Solución:

Tu respuesta final debería ser $\frac{\pi}{2} -1 - \ln2$

Answer 2

$$ \begin{align} &\int_1^\infty\left(\frac1x-\sin^{-1}\left(\frac1x\right)\right)\,\mathrm{d}x\\ &=-\int_0^{\pi/2}\left(\sin(t)-t\right)\,\mathrm{d}\csc(t)\\ &=\frac\pi2-1+\int_0^{\pi/2}\csc(t)(\cos(t)-1)\,\mathrm{d}t\\ &=\frac\pi2-1-\int_0^{\pi/2}\csc(t)(1-\cos(t))\frac{\sin^2(t)}{1-\cos^2(t)}\,\mathrm{d}t\\ &=\frac\pi2-1+\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}\cos(t)}{1+\cos(t)}\\ &=\frac\pi2-1-\log(2) \end{align} $$

Answer 3

Sea $\frac{1}{x}=t$.
Como mostraste correctamente, $$I=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}-\sin^{-1}(\frac{1}{x})dx=\int_{0}^{1}\frac{t-\sin^{-1}(t)}{t^{2}}dt$$ Entonces integramos por partes, $$\int_{0}^{1}\frac{t-\sin^{-1}(t)}{t^{2}}dt=\left[-\frac{t-\sin^{-1}(t)}{t}\right]^{1}_{0}+\int_{0}^{1}\frac{1-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}}{t}dt$$ La evaluación da $\pi/2-1$ en el caso $t=1$ y, en el límite cuando $t \to 0$, $0$.
Para esta segunda integral, sea $t=\sin(\theta)$ $$\int_{0}^{\pi/2}\frac{1-\frac{1}{\cos{\theta}}}{\sin(\theta)}\cos(\theta)d\theta=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos(\theta)-1}{\sin(\theta)}d\theta=-\ln(2)$$ Por lo tanto, $$I=\frac{\pi}{2}-1-\ln(2)=-0.1223\ldots$$

Answer 4

Primer paso: el cambio de variable $x=1/\sin t$ da como resultado $\mathrm dx=-\cos t\mathrm dt/(\sin t)^2$ por lo tanto la integral a calcular es $$ I=-\int_0^{\pi/2}(t-\sin t)\cos t\frac{\mathrm dt}{(\sin t)^2}=\int_0^{\pi/2}u(t)v'(t)\mathrm dt, $$ con $u(t)=t-\sin t$ y $v(t)=1/\sin t.

Segundo paso: integrar por partes, esto da como resultado una fórmula que involucra $u({\pi/2})v({\pi/2})={\pi/2}-1$, $u(0)v(0)=0$ y $$ \int_0^{\pi/2}u'(t)v(t)\mathrm dt=\int_0^{\pi/2}(1-\cos t)\frac{\mathrm dt}{\sin t}. $$ Tercer paso: usar técnicas estándar para calcular la última integral, aquí $\frac{1-\cos t}{\sin t}=\tan(t/2)$ por lo tanto $$ \int_0^{\pi/2}(1-\cos t)\frac{\mathrm dt}{\sin t}=\left[-2\log\cos(t/2)\right)_0^{\pi/2}=-2\log\cos(\pi/4)=\log2. $$ La fórmula final podría ser $$ I=\frac\pi2-1-\log2\approx-0.12235. $$

Answer 5

Dejando $y=\arcsin \frac{1}{x}$, entonces $$\begin{aligned} I & =\int_{\frac{\pi}{2}}^0(\sin y-y) d(\csc y) \\ & =[\csc y(\sin y-y)]_{\frac{\pi}{2}}^0+\int_0^{\frac{\pi}{2}} \csc y(\cos y-1) d y \\ & =\frac{\pi}{2}-1+[\ln (\sin y) +\ln (\csc y+\cot y)]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ & =\frac{\pi}{2}-1+[\ln (1+\cos y)]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ & =\frac{\pi}{2}-1-\ln 2\end{aligned}$$