Encontrar la suma de $\frac{x}{x+1} + \frac{2x^2}{x^2+1} + \frac{4x^4}{x^4+1} + \cdots$

Question

Supongamos $|x| < 1$. Puede dar alguna idea sobre cómo encontrar la siguiente suma? $$ \frac{x}{x+1} + \frac{2x^2}{x^2+1} + \frac{4x^4}{x^4+1} + \frac{8x^8}{x^8+1} + \cdots $$

Answer 1

Demostrar primero que para cualquier $x\in(-1,1)$ la identidad $$ \frac{1}{1-x}=\prod_{k\geq 0}\left(1+x^{2^k}\right) \tag{1}$$ sigue a partir de un telescópica producto o el hecho de que todos los $n\in\mathbb{N}^*$ tiene una representación única en la base-$2$. Considerando $\frac{d}{dx}\log(\cdot)$ de ambos lados de $(1)$, obtenemos: $$ \frac{1}{1-x} = \sum_{k\geq 0}\frac{2^k x^{2^k-1}}{1+x^{2^k}}\tag{2}$$ de los cuales: $$\sum_{k\geq 0}\frac{2^k x^{2^k}}{1+x^{2^k}}=\color{red}{\frac{x}{1-x}}.\tag{3}$$

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Esencialmente el mismo "truco", nos permite derivar de Euler pentagonal número teorema de Jacobi del triple producto, por ejemplo.

Answer 2

La evaluación de $$\sum_{q\ge 0} \frac{2^q x^{2^q}}{1+x^{2^q}}$$

obtenemos

$$\sum_{q\ge 0} 2^q \sum_{k\ge 0} (-1)^k x^{(k+1)2^p} = \sum_{n\ge 1} x^n \sum_{2^p|n} 2^q (-1)^{n/2^p-1}.$$

Ahora observar que

$$\sum_{2^p|n} 2^q (-1)^{n/2^p-1} = \sum_{p=0}^{v_2(n)} 2^p (-1)^{n/2^p-1}$$

donde $v_2(n)$ es el exponente de la potencia más alta de $2$ que divide $n.$ Esto es

$$-\sum_{p=0}^{v_2(n)-1} 2^p + 2^{v_2(n)} = - (2^{v_2(n)}-1) + 2^{v_2(n)} = 1.$$

debido a $n/2^p$ es aún menos $p=v_2(n).$

(Esto también pasa cuando se $n$ es impar y tenemos un valor de $p$, es decir, cero).

Por lo tanto el resultado final es

$$\sum_{n\ge 1} x^n = \frac{x}{1-x}.$$