¿Cuál será el valor del siguiente determinante sin ampliarlo?

Question

$$\begin{vmatrix}a^2 & (a+1)^2 & (a+2)^2 & (a+3)^2 \\ b^2 & (b+1)^2 & (b+2)^2 & (b+3)^2 \\ c^2 & (c+1)^2 & (c+2)^2 & (c+3)^2 \\ d^2 & (d+1)^2 & (d+2)^2 & (d+3)^2\end{vmatrix} $$

He intentado muchas operaciones de columna, principalmente sustracciones sin ningún éxito.

Answer 1

Si expande la binomios y se resta la $1^{\rm st}$ columna de la 2ª, 3ª y 4ª de obtener $$ \begin{vmatrix}a^2 & 2a+1 & 4a+4 & 6a+9 \\ b^2 & 2b+1 & 4b+4 & 6b+9 \\ c^2 & 2c+1 & 4c+4 & 6c+9 \\ d^2 & 2d+1 & 4d+4 & 6d+9\end{vmatrix}. $$ El próximo restar 2 veces el 2$^{\rm nd}$ columna del 3$^{\rm rd}$ uno, y 3 veces el 2$^{\rm nd}$ columna del 4$^{\rm th}$ uno: $$ \begin{vmatrix}a^2 & 2a+1 & 2 & 6 \\ b^2 & 2b+1 & 2 & 6 \\ c^2 & 2c+1 & 2 & 6 \\ d^2 & 2d+1 & 2 & 6\end{vmatrix}=0. $$ Ahora está claro que el determinante es cero, como en la cuarta columna es un múltiplo de la tercera (o, el factor 3 de la cuarta columna para obtener dos columnas iguales).

Answer 2

Sugerencia. Es posible encontrar la $A,B,C$ tal que para todos los $x\in\mathbb{R}$, $$(x+3)^2=A(x+2)^2+B(x+1)^2+Cx^2?$$

P. S. La respuesta es sí: $A = 3$, $B = -3$, $C = 1$.

Answer 3

Cambiar el signo de las columnas 2. y 4., después multiplica la columna 2. y 3. por 3 y por último agregar hasta llegar a cero en cada fila:

Col.1 - 3 Col.2 + 3 Col.3 - Col.4 = 0

De modo que las columnas son linealmente dependientes, por lo tanto el determinante es cero para cualquier $a\ldots d$.

Answer 4

1. Tomar cualquier secuencia de consecutivos de números al cuadrado. ¿Qué sabe usted (o, si no lo sabes, intenta esto: ¿qué te aviso) acerca de la segunda de las diferencias?

2. Cada fila de la matriz tiene cuatro consecutivos de números al cuadrado.* Tenga en cuenta que la columna de operaciones de preservar el determinante de la misma manera que la fila de las operaciones de hacer (esto es evidente si recordamos que el determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta, y operaciones de columna en la matriz de filas de operaciones en su transpuesta). Uno puede llenar las tres últimas columnas de la matriz con las primeras diferencias de sus cuatro períodos consecutivos de números al cuadrado, aplicando la siguiente columna de operaciones: restar la columna 3 en la columna 4; restar la columna 2 columna 3; restar la columna 1 de la columna 2. (¿Por qué tenemos que hacerlo en este orden?)

3. Se puede realizar otra serie de operaciones de columna a diferencia de estos tres primeras diferencias? Las dos últimas columnas de la matriz se llena con la segunda de las diferencias de su original secuencias de cuatro torneos consecutivos de números al cuadrado. Recordar el resultado de (1). ¿Que te dice esto acerca de estas dos columnas y, por tanto, el determinante?

$(*)$ Quizás $a^2, \dots, (a+3)^2$ no puede ser "el cuadrado de los números" en el sentido de que $a$ puede no ser un número natural. Pero esto no importa mucho; la razón por la segunda de las diferencias de la secuencia de $n^2, \, n\in\mathbb{N}$ son tan bonitas es porque de álgebra que funciona igual de bien en la $x^2, \, x\in \mathbb{R}$. En particular, ¿cuál es $\left((x+2)^2-(x+1)^2\right) - \left((x+1)^2-x^2\right)$?

---

Si el pincel un poco en diferencias finitas de más polinomios es posible que desee tener un pensar acerca de cómo usted puede determinar el siguiente determinante, donde cada fila tiene seis consecutivos cuarto poderes:

$$\begin{vmatrix}a^4 & (a+1)^4 & (a+2)^4 & (a+3)^4 & (a+4)^4 & (a+5)^4 \\ (b+6)^4 & (b+7)^4 & (b+8)^4 & (b+9)^4 & (b+10)^4 & (b+11)^4 \\ (c-3)^4 & (c-2)^4 & (c-1)^4 & c^4 & (c+1)^4 & (c+2)^4 \\ (d+20)^4 & (d+21)^4 & (d+22)^4 & (d+23)^4 & (d+24)^4 & (d+25)^4 \\ (e-8)^4 & (e-7)^4 & (e-6)^4 & (e-5)^4 & (e-4)^4 & (e-3)^4 \\ (f + 2016)^4 & (f+2017)^4 & (f+2018)^4 & (f+2019)^4 & (f+2020)^4 & (f+2021)^4 \end{vmatrix} $$

La expansión de este en su totalidad, no necesariamente puede desarrollar la situación a su ventaja. Pero esta vez, con un cuarto poder, el polinomio de, no es la segunda de las diferencias que salen de la misma...

Answer 5

El determinante es un polynom de segundo grado con respecto a $a$, por otro lado, cuenta con tres diferentes (en general) las raíces de $b$, $c$, y $d$ (como, por ejemplo, si $a=b$, el determinante tiene dos filas iguales), por lo tanto, el determinante se desvanece.