¿Es una convención "El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto"?

Question

Recientemente he aprendido que para cualquier conjunto A, $\varnothing\subset A$ .

He encontrado alguna explicación de por qué se mantiene.

$\varnothing\subset A$ significa "para cada objeto de $x$ , si $x$ pertenece al conjunto vacío, entonces $x$ también pertenece al conjunto A". Esta es una verdad vacía, porque el antecedente ( $x$ pertenece al conjunto vacío) nunca podría ser verdadera, por lo que la conclusión siempre se mantiene ( $x$ también pertenece al conjunto A). Por tanto, $\varnothing\subset A$ se mantiene.

Lo que me confundió fue que, la siguiente expresión también era una verdad vacía.

Para cada objeto de $x$ , si $x$ pertenece al conjunto vacío, entonces $x$ no pertenece al conjunto A.

Según la definición de la verdad vacía, la conclusión ( $x$ no pertenece al conjunto A) se mantiene, por lo que $\varnothing\not\subset A$ también sería cierto.

¿Cuál es la correcta? ¿O es sólo una convención para dejar $\varnothing\subset A$ ?

Answer 1

No hay ningún conflicto: has interpretado mal la segunda afirmación resaltada. Lo que realmente dice es que $\varnothing$ y $A$ no tienen ningún elemento en común, es decir, que $\varnothing\cap A=\varnothing$ . Esto no es lo mismo que decir que $\varnothing$ no es un subconjunto de $A$ para que no entre en conflicto con el hecho de que $\varnothing\subseteq A$ .

Para ampliarlo un poco, la declaración $B\nsubseteq A$ no dice que si $x\in B$ entonces $x\notin A$ ; dice que hay al menos una $x\in B$ que no está en $A$ . Esto no es cierto si $B=\varnothing$ .

Answer 2

De Halmos Teoría de conjuntos ingenua :

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Una transcripción:

El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto, o lo que es lo mismo, $\emptyset \subset A$ por cada $A$ . Para establecer esto, podríamos argumentar lo siguiente. Hay que demostrar que cada elemento de $\emptyset$ pertenece a $A$ ; ya que no hay elementos en $\emptyset$ la condición se cumple automáticamente. El razonamiento es correcto, pero quizás insatisfactorio. Dado que se trata de un ejemplo típico de un fenómeno frecuente, una condición que se cumple en el sentido "vacío", tal vez convenga dar un consejo al lector inexperto. Para demostrar que algo es verdadero en el conjunto vacío, demuestre que no puede ser falso. ¿Cómo, por ejemplo, podría ser falso que $\emptyset \subset A$ ? Sólo podría ser falso si $\emptyset$ tenía un elemento que no pertenecía a $A$ . Desde $\emptyset$ no tiene ningún elemento, esto es absurdo. Conclusión: $\emptyset \subset A$ no es falso, y por lo tanto $\emptyset \subset A$ por cada $A$ .

Answer 3

Lo que me confundió fue que, la siguiente expresión también era una verdad vacía.

Para cada objeto de $x$ , si $x$ pertenece al conjunto vacío, entonces $x$ no pertenece al conjunto $A$ .

Como complemento (je) a la respuesta de Brian Scott (+1), su argumento muestra que $\varnothing \subset A^{c}$ el complemento de $A$ . Esta afirmación también es (vacuamente) cierta.

Answer 4

Un punto muy sutil:

"Todas las x no son algo" no implica "No todas las x son algo".

La primera puede ser una verdad vacía. La segunda no puede. Si las x son vacuas entonces la segunda tiene que ser "vacuamente falsa" ya que todas las x de nada son cualquier propiedad por lo que es imposible que no sean cualquier propiedad.

Así que "todos los elementos del conjunto vacío no están en $S$ " hace no implican "No todos los elementos del conjunto vacío están en $S$ " $\iff$ "No es cierto que todos los elementos del conjunto vacío estén en $S$ " $\iff$ "Hay algunos elementos del conjunto vacío que no están en $S$ ".

La primera es vacuamente cierta (y equivale a $\emptyset \subset S^c$ que es verdadera) y el segundo conjunto de afirmaciones equivalentes son todas equivalentes a $\emptyset \not \subset S$ lo cual no es cierto.

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La cosa es que lo que dices es absolutamente correcto para no conjuntos vacíos.

Más formalmente:

Todos los elementos $x$ en $S$ no están en $A$ $\implies$

$S \subset A^c$ $\implies$

$\color{red}{\text{There is an } x\in S \text{ where } x \not \in A}\implies$

No es cierto que todos los $x \in S$ también están en $A$ $\implies$

$S \not \subset A$ .

Sin embargo, la línea roja sólo puede concluirse si $A$ no está vacío. Si $A$ está vacía la línea roja es simplemente falsa.

Y sin la línea roja simplemente no hay lógica ni medios para saltar de la línea anterior a la posterior:

Todos los elementos $x$ en $S$ no están en $A$ $\not\implies$

No es cierto que todos los $x \in S$ también están en $A$ .

Eso simplemente no es cierto para una $S$ .

Answer 5

Esta es una explicación muy mundana (con conjuntos finitos). Un subconjunto está formado por cualquier combinación de elementos del conjunto. Supongamos un conjunto $ S$ se compone de tres elementos: $\{a,b,c\}$ . Cada elemento $a$ , $b$ o $c$ puede estar, o no, en la combinación. Si todos ellos no están en la combinación, siguen formando una combinación de "elementos ausentes", o $\emptyset$ un subconjunto de $S$ . Son el dual del subconjunto de "todos los elementos", $\{a,b,c\}$ .

De la misma manera que $\{a,b\}$ y $\{c\}$ son subconjuntos (complementarios), $\emptyset$ y $\{a,b,c\}$ pertenecen al conjunto de subconjuntos.