¿Son funciones de la trigonometría básicas (seno, coseno, tangente) intuitiva o memorizado?

Question

En primer lugar, estoy muy mal por esto un poco vago y que, posiblemente, sólo pregunta tonta. También pido disculpas si el siguiente contexto se ejecuta un poco largo. Pero, por favor, confía en mí que yo estoy pidiendo con total sinceridad y que mi objetivo final es encontrar un punto de partida para comprender el área de uno de los básicos de matemáticas de secundaria que siempre ha estado fuera de su alcance.

Para empezar: siempre he odiado las matemáticas como un niño (de las tablas de multiplicación, llevar-la-uno, pedir prestado por la izquierda, etc), y fue sólo más tarde, cuando la matemática en realidad comenzó a ponerse interesante que me di cuenta de que yo no odio las matemáticas, odiaba la memorización de las tablas y de la ciega fe de reglas/funciones/trucos de los que eran fáciles de olvidar bajo presión.

En algún lugar en el medio escolar (pre-álgebra, pre-geometría), las cosas empezaron a haga clic en. No quiero sugerir que yo era un genio de las matemáticas por cualquier tramo, pero me pareció que si yo estaba manteniendo conceptualmente con un módulo, la introducción en el siguiente tenía un buen "Oh, sí, por supuesto! Ese es el siguiente paso lógico!" sensación, por lo que llegué a ser el odioso chico que puso los ojos en alguien luchando con un concepto específico, pensando que no era tan obvio que si ya sabemos que el volumen de un cilindro es el área del círculo en la parte superior de la altura, ¿por qué no un cono de ser de un tercio de eso?

Como me siguió a través de la escuela secundaria, las cosas se pusieron más difíciles, pero, en general, cualquiera de las dos cosas tenía sentido, o eventualmente sentido si yo cuidadosamente volví sobre mis pasos para ver donde me perdí, y en ocasiones, las cosas no hizo ningún maldito sentido hasta que hubo un impresionante pop en mi cabeza, como darse cuenta de que las matrices no estaban realmente locos y mágico, eran sólo una manera de alinear todas las variables de tal manera que pueden ser fácilmente tratadas con todos a la vez.

Luego tenemos a las funciones trigonométricas. Yo, básicamente, se inclinó hacia fuera en este punto, tomó un poco de baja honorablemente B y C los grados, sabiendo que yo no estaba recibiendo algo, y nunca tomó ningún formal de las clases de matemáticas nunca más.

Dos cosas que he aprendido desde entonces:

1. No son realmente de endeudamiento o de la realización de cualquiera, es sólo una manera práctica de tratar el número de arriba como 10 + en sí.

2. A menos que usted está tomando clases de matemáticas en la universidad significaba para las matemáticas majors, que siempre use una calculadora para obtener los números reales al calcular el seno, el coseno y la tangente.

La segunda parte es crucial para mi pregunta. 20 años después de golpear de matemáticas de la pared, me doy cuenta de que no es sólo más fácil el uso de una calculadora para estas funciones, es bastante necesario (a menos que usted tiene de su abuelo regla de cálculo, pero esto es básicamente la misma idea, buscar).

Así que mis preguntas son:

1. Son las funciones trigonométricas inherentemente algo que acaba de aceptar y aprender y encontrar un lugar en el cerebro por lo que más conceptos se derivan de forma intuitiva a partir de ese punto de partida, o hacer que estos conceptos derivan en un claro y algo intuitivo (o al menos directa) manera de bajar el nivel de los conceptos que me las he arreglado para no encaja juntos en cada 3-5 años rozando voy a tratar sobre el tema?

2. Estoy seguro de que, ya que hay quienes realmente pueden aportar pruebas o calcular las funciones sin necesidad de una calculadora, que estas funciones que no eran tan "encontrar" o "soñado" o fueron las divagaciones de un loco genio que sólo pueden ofrecer las proporciones, no el razonamiento. Así que conseguir que se llegue a través de los de menor nivel de matemáticas. Así que lo que realmente quiero saber es si mi lucha para entender de la misma manera que yo había llegado a comprender todo otro concepto matemático es básicamente donde voy mal, como a mi con mucho retraso descubrimiento de que las calculadoras eran esenciales para el proceso.

3. (realmente sub 2) - Si es que realmente es "difícil" o "aprendido" o "trabajo", puedo aceptar eso. El aprendizaje del latín los verbos fue duro y sabía que lo estaba bajando las marcas, porque yo no estaba haciendo el trabajo. Pero si hay algunos progresión natural, y cualquiera puede tomar una decente supongo que en algún específicos de conexión/concepto de que es más probable que la "pieza que falta" (ya sea porque generalmente lo es, o porque todo esto suena demasiado familiar, o porque tienes un don para averiguar lo que está mal sólo de divagaciones sin sentido), doy la bienvenida a cualquier comentario o sugerencias.

Tenga en cuenta que una gran parte de mi inicial disculpa (y la razón para la redacción de las cosas como yo) es que yo no estoy buscando un tutor o una lección en trigonometría (no aquí, al menos), sólo algunos de validación que o me estoy perdiendo algo que debería hacer esto más fácil de lo que estoy haciendo que suene, o que en realidad es dura y mi error es esperar que cada época para descubrir que lo que me estaba perdiendo.

Gracias, como siempre.

Answer 1

Por qué iba alguien a aprender los valores de las funciones trigonométricas? Cuando yo era niño, normalmente no uso de la calculadora en la escuela primaria, pero se ha utilizado una tabla. Como yo tenía nueve años le pregunté a mi madre cómo se hizo el editor de llenar esta tabla. Ella me dijo, que él podría haber construido triángulos y mide sus lados. Por supuesto, ella estaba mal, pero su idea no era totalmente malo. La trigonometría es una antigua disciplina, más viejos que la mayoría de las técnicas de computación en los valores de las funciones trigonométricas. El concepto base de la trigonometría es la similitud. Thales ha sabido que él puede calcular la altura de una pirámide a partir de la longitud de su sombra con un palo. Había un montón de problemas en la astronomía y la "ingeniería antigua" que necesita el concreto de los valores de las funciones trigonométricas. Cuando alguien necesitaba un mal valor de una función trigonométrica, en el peor de los casos uno podría medir. Por otro lado, podemos deducir algunas de especial valor de las funciones trigonométricas: sabemos $\sin \frac{\pi}{4}$, $\sin \frac{\pi}{3}$, $\sin \frac{\pi}{6}$, $\cos \frac{\pi}{4}$, $\cos \frac{\pi}{3}$, $\cos \frac{\pi}{6}$ y el trigonométricas, además de fórmulas son bastante viejas cosas demasiado, por lo que se podría calcular el valor de $\sin k\frac{\pi}{2^n}$ lo cual es suficiente para la aproximación, pero nos da una muy incómodo método. Pero esta no es la manera en la que el valor de los senos se da en nuestras mesas o en la forma en que se calculan a través de una calculadora. En el siglo XVII, Newton o la de alguien más notó que el seno y coseno de satisfacer la siguiente ecuación diferencial $$\ddot{y}=-y. $$ Si del seno y coseno sería un polinomio, en ese tiempo la gente creía que cada función es como polinomio, entonces esto nos daría una recursividad de sus coeficientes. Vamos a ser $$\sin t = \sum\limits_{k=0}^na_kt^k$$ then $$\ddot\sin t=\sum\limits_{k=0}^n -k(k-1)a_kt^{k-2} $$ la ecuación diferencial y el hecho de que un polinomio determina sus coeficientes nos muestran $$a_{k-2}=-k(k-1)a_k$$ Because $\el pecado 0=0$ and $\dot\sen 0= \cos 0= 1$ we've got a recursion for it's coefficients. It sounds great, but there is a problem with it. If $a_0$ or $a_1$ no es 0 entonces la recursividad nunca se detiene, que es el grado de pecado debe ser infinito. Bien, este es el origen de la noción de poder de la serie... (realmente lo siento por mi sin pulir inglés)

Answer 2

1. Las funciones trigonométricas fueron inicialmente introducidos por los antiguos para resolver triángulos. Primer rectángulo, entonces escaleno, y más tarde esférica. Se han convertido en una herramienta esencial en el análisis de la geometría y topografía.

2. La geometría analítica se cierra la brecha entre el análisis y la geometría Euclidiana y expresa las funciones trigonométricas en términos del producto escalar de vectores. Soluciones a los problemas que pueden escribirse indistintamente utilizando vectorial o expresiones trigonométricas.

3. Conexiones profundas fueron descubiertos con el cálculo, a través de los números complejos. De hecho, todas las funciones trigonométricas pueden ser construidos a partir de la función exponencial de una variable compleja. Esto es simbolizado por la famosa ecuación de Euler, que tiene infinidad de usos

$$e^{it}=\cos(t)+i\sin(t).$$

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Tal vez la función exponencial no sonará una campana, pero tiene dos maravillosas propiedades: $$e^{x+y}=e^x\cdot e^y,$$ $$\left(e^z\right)'=e^z.$$

La segunda aparece en la teoría de la dinámica de sistemas lineales, y esto explica por qué las cosas vibrar después de una sinusoide.