Suma sobre relativamente números primos

Question

¿Por qué es cierto que $$\frac{\varphi(m)}{m}\sum_{n \leq x}\frac{1}{n} \leq \sum_{n \leq x, (n, m) = 1}\frac{1}{n}?$ $ intuitiva de ver esto, uno puede pensar que de 1 a $m$, hay $\varphi(m)$ enteros que son primer relativo a $m$, por lo que se puede esperar que sea la proporción, pero ¿cómo uno Mostrar esto explícitamente?

Answer 1

Procedemos por inducción en $k$, el número de factores primeros distintos de $m$.

Cuando $k=0$, tenemos $m=1$y $$\frac{\varphi(1)}{1}\sum_{n \leq x}\frac{1}{n}=\sum_{n \leq x}\frac{1}{n}=\sum_{n \leq x, (n, 1) = 1}\frac{1}{n}$ $

Supongamos que la declaración sostiene para $k=i \geq 0$. $m$ $i+1$ Factores primeros distintos de considerar y que $m=p^ab, a \geq 1$, donde cuenta con factores primeros distintos de la $b$ $i$ y $p \nmid b$.

Luego por la hipótesis de inducción,

$$\frac{\varphi(p^ab)}{p^ab}\sum_{n \leq x}\frac{1}{n}=\frac{\varphi(p^a)}{p^a}\frac{\varphi(b)}{b}\sum_{n \leq x}\frac{1}{n} \leq \frac{p-1}{p}\sum_{n \leq x, (n, b) = 1}\frac{1}{n}$$

Tenemos

\begin{align} \sum_{n \leq x, (n, p^ab) = 1}\frac{1}{n}=\sum_{n \leq x, (n, b) = 1}\frac{1}{n}-\sum_{n \leq x, (n, b) = 1, p \mid n}\frac{1}{n} &=\sum_{n \leq x, (n, b) = 1}\frac{1}{n}-\frac{1}{p}\sum_{n \leq \lfloor \frac{x}{p} \rfloor, (n, b) = 1}\frac{1}{n} \\ & \geq \sum_{n \leq x, (n, b) = 1}\frac{1}{n}-\frac{1}{p}\sum_{n \leq x, (n, b) = 1}\frac{1}{n} \\ & =\frac{p-1}{p}\sum_{n \leq x, (n, b) = 1}\frac{1}{n} \\ & \geq \frac{\varphi(p^ab)}{p^ab}\sum_{n \leq x}\frac{1}{n} \end {Alinee el}

Hemos terminado así por inducción.