Dejemos que $T_n$ sea la secuencia $(2 + \sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n$ para $n \in \mathbb{N}$ .
Desde
$$(\lambda - (2 + \sqrt{3}))(\lambda - (2-\sqrt{3})) = \lambda^2 - 4\lambda + 1,$$ $T_n$ satisface una relación de recurrencia lineal:
$$T_{n+2} - 4T_{n+1} + T_{n} = 0$$
Aviso $T_0 = 2$ y $T_1 = 4$ son ambos pares, esto implica que $T_n$ son iguales para todos $n \in \mathbb{N}$ y por lo tanto
$$\sin\big(\pi(2 + \sqrt{3})^n\big) = \sin\big(\pi( T_n - (2-\sqrt{3})^n)\big) = - \sin\big(\pi(2 - \sqrt{3})^n\big) $$ para todos $n \ge 1$ .
Desde $0 < 2-\sqrt{3} < 1$ la secuencia tiene todos signo negativo.
Desde $0 < \sin x < x$ para $x \in (0,\pi)$ tenemos $\displaystyle\;\;-\pi(2-\sqrt{3})^n < \sin\big(\pi(2+\sqrt{3})^n\big) < 0$ .
Esto significa que la secuencia es siempre negativa y está limitada por debajo por el negativo de una serie geométrica. En consecuencia, la serie $\displaystyle\;\sum_{n=1}^\infty \sin\big(\pi(2+\sqrt{3})^n\big)\;$ converge a algún número negativo mayor que $-\frac{\pi(2-\sqrt{3})}{1-(2-\sqrt{3})} = -\frac{\pi}{\sqrt{3}+1} \sim -1.149902719556431$ .
Notas aleatorias
He buscado un poco en internet. Resulta que en cierto sentido, la convergencia de $\sum\limits_{n=1}^\infty \sin\big(\pi(2+\sqrt{3})^n\big)$ ¡es excepcional!
Se sabe que para casi todos los $\alpha > 1$ (es decir, un conjunto de medidas de Lebesgue $0$ ), $\{ \alpha^n \}$ la parte fraccionaria de $\alpha^n$ es un secuencia equidistribuida . Una consecuencia de esto es que para casi todos los $\alpha > 1$ la secuencia $\sin(\pi \alpha^n)$ no converge a $0$ y por lo tanto, la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty \sin(\pi \alpha^n)$ diverge.
Hay excepciones conocidas. En particular, se sabe que $\{ \alpha^n \}$ no está equidistribuido mod 1 si $\alpha$ es un Número PV . es decir, un entero algebraico $\alpha > 1$ y todas las demás raíces de sus polinomios mínimos se encuentran estrictamente dentro del círculo unitario.
Citando a wiki, las potencias de los números PV tienen una distribución muy "sesgada" (mod 1).
Si $\alpha$ es un número PV y $\lambda$ es cualquier número entero algebraico del campo $\mathbb{Q}(\alpha)$ entonces la secuencia $\|\lambda\alpha^n\|$ , donde $\|x\|$ denota la distancia del número real $x$ al número entero más cercano, se aproxima a $0$ a un ritmo exponencial.
Esto implica $\sum\limits_{n=1}^\infty \sin(\pi\alpha^n)$ converge siempre que $\alpha$ es un número PV. Como $2 + \sqrt{3}$ es un número PV, las series correspondientes sí convergen.
