Me acaba de trabajar a través de una prueba en Daniel Marcus' libro de los Campos de Número de que si $p\nmid n$, la inercia de grado de cualquier primer ideal de $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ se encuentra por encima del $p$ es igual a la orden de $p$ $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ (p.77). El argumento se basa en la ecuación de $(1-\zeta_n)(1-\zeta_n^2)\dots(1-\zeta_n^{n-1})=n$. He intentado reorganizar la prueba y se sorprendió al final con lo que me parece una completa prueba de que no hace uso explícito de este hecho. Mi pregunta es, ¿dónde me escondo? (O, lo que es mi prueba de que falta algo? O, ¿es este hecho en realidad extrínseca, el resultado?)
El programa de instalación: Tenemos un primer $p$ no dividiendo $n$, y el discriminante de $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta_n)}=\mathbb{Z}[\zeta_n]$ divide un poder de $n$, por lo que es el primer a $p$, lo $(p)$ se divide en distintas primer ideales en $\mathbb{Z}[\zeta_n]$:
$$ p\mathbb{Z}[\zeta_n] = P_1\dots P_r $$
La extensión de campo es normal y el grado $\varphi(n)$, por lo que tenemos $fr=\varphi(n)$ donde $f$ es el grado de inercia de la $P_i$. Por definición, $f$ es el grado de la extensión de campo $[\mathbb{Z}[\zeta_n]/P_i:\mathbb{Z}/(p)]$. Esta extensión de campo es cíclica, con grupo de Galois generado por el Frobenius automorphism $\sigma$, lo que ha pedido a $f$. Mientras tanto, $Gal(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ tiene un automorphism $\tau$ asignación de $\zeta_n\mapsto \zeta_n^p$, ya que el $p$ es el primer a $n$. El orden de $\tau$ es el orden de $p$$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$. El problema es demostrar que el $\tau$ $\sigma$ tienen el mismo orden.
Marcus' argumento: Considerar la acción de la $\tau$ sobre el generador de campo de $\zeta_n$ e de $\sigma$ sobre su imagen en $\mathbb{Z}[\zeta_n]/P_i$. $\tau^m=\mathrm{id.}$ si y sólo si $\tau^m(\zeta_n)=\zeta_n$ debido a que se trata de un generador. Asimismo, $\sigma^m=\mathrm{id.}$ si y sólo si $\sigma^m(\bar\zeta_n)=\bar\zeta_n$, con un cálculo que toma lugar en el $\mathbb{Z}[\zeta_n]/P_i$, es decir, mod $P_i$. El problema es, pues, mostrar que $\zeta_n^{p^m}=\zeta_n$ si y sólo si $\zeta_n^{p^m}=\zeta_n\mod P_i$. "Sólo si" es trivial. Si $\zeta_n^{p^m}=\zeta_n\mod P_i$ $\zeta_n^{p^m-1}=1\mod P_i$ porque $\zeta_n$ es una unidad. Por lo $1-\zeta_n^{p^m-1}\in P_i$. Sin embargo,
$$(1-\zeta_n)(1-\zeta_n^2)\dots (1-\zeta_n^{n-1}) = n\notin (p)\subset P_i$$
Por lo tanto, $p^m-1$ no puede ser igual a $1,2,\dots,n-1$ mod $n$. La única posibilidad es $p^m-1=0\mod n$, y, a continuación,$\zeta_n^{p^m-1}=1$, así que tenemos nuestra instrucción "if".
Mi argumento: $Gal(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})$ actúa transitivamente sobre el $P_i$, de los cuales hay $r$, de modo que por el de la órbita estabilizador teorema, $f=|\operatorname{Stab}P_i|$. Deje $\pi:\mathbb{Z}[\zeta_n]\rightarrow\mathbb{Z}[\zeta_n]/P_i$ ser la canónica homomorphism. $\tau$ actos trivialmente en $\mathbb{Z}$ y envía $\zeta_n$ a de su $p$th poder; $\sigma$ envía la imagen de $\zeta_n$ a de su $p$th poder (ya que es el $p$th mapa de poder en todo) y actos trivialmente en la imagen de $\mathbb{Z}$. Por la consideración de su acción sobre las $\mathbb{Z},\zeta_n$ que generan el anillo de $\mathbb{Z}[\zeta_n]$, llegamos a la conclusión de que $\pi\circ\tau$ $\sigma\circ\pi$ son iguales. De ello se desprende que $\tau\in\operatorname{Stab}P_i$ y $\tau\mapsto \sigma$ bajo la homomorphism $\operatorname{Stab}P_i\rightarrow Gal((\mathbb{Z}[\zeta_n]/P_i)/(\mathbb{Z}/(p)))$ inducida por $\pi$. Es inmediato que este mapa es surjective porque $\sigma$ genera la imagen. Desde el dominio y la imagen de ambos tienen el fin de $f$, esto significa que es un isomorfismo, y de ello se sigue que $\sigma,\tau$ tienen el mismo orden.
Reitero mi pregunta: ¿dónde puedo ocultar Marcus cálculo de $(1-\zeta_n)\dots(1-\zeta_n^{n-1})=n?$ O, es mi prueba de mal? O, es el cálculo de hecho extrínseco a la conclusión?
