¿Qué es la motivación para incluir las hipótesis compacticidad y la simplicidad en los grupos que uno calibres para obtener teorías de Yang-Mills? Creo que estas hipótesis a las teorías físicamente "nice" de alguna manera, pero he nunca, incluso desde una perspectiva computacional. realmente pensado estos supuestos mucho.
Respuestas
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Como Lubos Motl y twistor59 explicar, una condición necesaria para unitarity es que el Yang Mills (YM) grupo gauge $G$, con la correspondiente Mentira álgebra $g$ debe ser real y tienen un efecto positivo (semi)definitiva asociativa/invariante de la forma bilineal $\kappa: g\times g \to \mathbb{R}$, cf. la cinética parte del Yang de los Molinos de acción. La forma bilineal $\kappa$ a menudo es elegido para ser (proporcional) de la Matanza de forma, pero que no tiene que ser el caso.
Si $\kappa$ es degenerado, esto inducirá adicionales zeromodes/medidor-simetrías, las cuales deberán ser de calibre fijo, lo que efectivamente disminuir el calibre de grupo $G$ a un subgrupo más pequeño, donde la correspondiente restricción (de) $\kappa$ es no degenerada.
Al $G$ es semi-simple, la correspondiente forma de Matar es no degenerada. Pero $G$ sí no tiene que ser semi-simple. Recordemos por ejemplo, que el$U(1)$, por definición, no una simple Mentira de grupo. Su forma de Matar es idéntica a cero. Sin embargo, tenemos la siguiente YM-tipo de teorías:
QED con $G=U(1)$.
el Glashow-Weinberg-Salam modelo para la interacción electrodébil con $G=U(1)\times SU(2)$.
También el grupo gauge $G$ hace, en principio, no tiene que ser compacto.
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Te recomiendo que leas el capítulo 15.2 en "La Teoría Cuántica de Campos", Volumen 2 por Steven Weinberg, responde precisamente a su pregunta.
Aquí un breve resumen
En una teoría de gauge con el álgebra de los generadores de la satisfacción de
$$
[t_\alpha,t_\beta]=iC^\gamma_{\alpha\beta}t_\gamma
$$
se puede comprobar que la intensidad de campo tensor $F^\beta_{\mu\nu}$ se transforma de la siguiente manera
$$
\delta F^\beta_{\mu\nu}=i\epsilon^\alpha C^\beta_{\gamma\alpha} F^\gamma_{\mu\nu}
$$
Queremos construir Lagrangians. Libre de partículas cinética término debe ser una combinación cuadrática de $F^\beta_{\mu\nu}$ y la invariancia de Lorentz y la paridad de la conservación de restringir su forma de
$$
\mathcal{L}=-\frac{1}{4}g_{\alpha\beta}F^\alpha_{\mu\nu}F^{\beta\mu\nu}
$$
donde $g_{\alpha\beta}$ puede ser tomado simétrica y debe ser tomada real de la densidad de Lagrange para ser real así. El Lagrangiano de arriba debe ser de calibre-invariante, por lo que debe satisfacer
$$
\delta\mathcal{L}=\epsilon^\delta g_{\alpha\beta}F^\alpha_{\mu\nu}C^\beta_{\gamma\delta}F^{\gamma\mu\nu}=0
$$
para todos los $\epsilon^\delta$. A fin de no imponer restricciones funcionales para las intensidades de campo $F$ la matriz $g_{\alpha\beta}$ debe satisfacer la siguiente condición
$$
g_{\alpha\beta}C^\beta_{\gamma\delta}=-g_{\gamma\beta}C^\beta_{\alpha\delta}
$$
En definitiva, el producto $g_{\alpha\beta}C^\beta_{\gamma\delta}$ es anti-simétrica en $\alpha$$\gamma$.
Furthermor las reglas de cuantización canónica y la positividad de las propiedades de la mecánica cuántica producto escalar requiere que la matriz de $g_{\alpha\beta}$ debe ser positivo-definida. Finalmente, uno puede demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes
- Existe una real simétrica positiva definida la matriz de $g_{\alpha\beta}$ que satisface la condición de invariancia de arriba.
- Hay una base para el álgebra de la Mentira para que la estructura de las constantes de $C^\alpha_{\beta\gamma}$ son anti-simétrica, no sólo en los más bajos índices de $\beta$$\gamma$, pero en los tres índices $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$.
- La Mentira de álgebra es la suma directa de los desplazamientos compacto, simple y $U(1)$ subalgebras.
La prueba de la equivalencia de estas declaraciones, así como un análisis más en detalle de la presentación del material se puede encontrar en el libro citado por S. Weinberg.
Es una prueba de la equivalencia para $g_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}$ (en realidad la forma más común) fue dado por M. Gell-Mann y S. L. Glashow, en Ann. Phys. (Nueva york) 15, 437 (1961)
seb
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Es porque quieres la parte cinética de Yang Mills acción $$ \int Tr({\bf{F^2}}) dV$ $ positivo definido. Para garantizarlo, mentira álgebra interior producto usas necesidades (matar a forma) sea positiva definida. Esto queda garantizado si el grupo de gauge es semi-simple y compacto. (No estoy seguro si es solamente si G es compacto y semi simple. Tal vez alguien podría rellenar este detalle).
