que $S_n$ ser el grupo de permutación de n Letras, sabemos que existe un homomorfismo inyectivo grupo de $S_n$ $GL_m(F)$, donde $F$ denota un campo, si $m=n$, mi pregunta es:
Para un fijo n, ¿cuál es el mínimo entero distinto de cero de m, tal que $S_n$ puede ser embebido en $GL_m(F)$?
Si $F$ tiene características de 0, entonces el menos $m$$n-1$.
Lo mismo es cierto si $F$ tiene características de las $p$ si $p|n$, caso en el cual se $n-2$ ($n>4$).
El estándar de permutación representación de $S_n$, en el cual los elementos de $S_n$ están representados por sus correspondientes matrices de permutación, puede ser definido a través de cualquier campo y tiene un grado $n$.
En característica cero o al $p$ no divide $n$, el correspondiente $FS_n$-módulo se descompone como suma directa de los módulos de $U$ de la dimensión 1, que comprende el vector $(1,1,\ldots,1)$, e $V$ de la dimensión de $n-1$ generado por los vectores con los coeficientes que se suma a 0 (como se define en el Yoyo comentario). Se puede demostrar que $V$ es irreductible.
Al$p|n$,$U < V$, e $V/U$ es irreductible de la dimensión $n-1$.
Se puede demostrar que estos son los más pequeños grado fieles representaciones de $S_n$ (al menos para $n>4$ - en el modular caso, no siempre son fieles al $n \le 4$).
Una buena referencia para este tema es:
James, G. D. (1983), "En las dimensiones mínimas de las representaciones irreducibles de los grupos simétricos", Matemáticos Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge 94 (3): 417-424.
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